3.4.2. Формирование матриц системы

Выражение (3.13) определяет потенциал в средней точке (центре масс) граничного элемента с номером обусловленный действием всех источников Выражение (3.14) дает соответствующие значения нормальной к элементу составляющей скорости, направленной вне области. Мы намеренно допускаем столь значительное усложнение обозначений, чтобы избежать двусмысленности при определении роли различных координат, местоположений точек наблюдения и приложения нагрузки и т. д. В частности, это позволяет переписать соотношения (3.13) и (3.14) в более удобном матричном виде:

где вектор-столбец размерности вектор-столбец размерности а члены в скобках — вектор-строки соответствующих размерностей. Каждый элемент этих вектор-строк получается в результате интегрирования, например, ядра по и т.д. Таким образом, первым элементом первой вектор-строки в соотношении (3.15) будет

Вычисление этих промежуточных интегралов будет подробно рассмотрено ниже; сейчас мы заметим лишь, что окончательная форма соотношений (3.15) и (3.16) всегда будет эквивалентна следующей:

где член входящий в (3.16), включен в

Если совершенно аналогичные операции проделать для всех граничных элементов то полученную в результате полную систему уравнений для можно будет представить в простом виде:

где, очевидно, суть -мерные векторы граничных значений, а есть -мерный вектор интенсивностей источников внутри области А.

Матрицы размером составленные из интегралов типа по границе отличаются индексом от матриц размером с индексом А, означающим, что они получаются из интегралов типа по площади элементов единичный -мерный вектор-столбец.

Прежде чем составить из уравнений (3.19) и (3.20) общую систему, мы снова должны вернуться к нашей дискуссии о константе С. Как упоминалось выше, появление произвольной постоянной С связано с произволом в выборе начала отсчета для измерения потенциала. Если мы выберем С таким образом, чтобы алгебраическая сумма интенсивностей всех источников внутри области и на ее границе была равна нулю, то сможем избавиться от присущего задаче логарифмического поведения ядра при

Это приводит к вспомогательному уравнению

которое при однородности распределений по каждому из граничных элементов и внутренним ячейкам упрощается и принимает вид

где вектор-строки размерности соответственно компонентами которых являются просто длины элементов в и площади ячеек в

Для решения поставленной задачи не требуется использовать каждое из уравнений общей системы, образованной уравнениями (3.19) — (3.21). Действительно, из полного набора граничных значений потенциала может быть задана лишь некоторая часть, скажем и аналогично из всех значений и нормальной составляющей скорости могут быть заданы лишь Однако суммарное число компонент всегда должно быть равно Следовательно, мы должны выбрать из (3.19) и (3.20) только N уравнений, отвечающих заданным граничным условиям, и объединить их с (3.21) в общую систему вида

где блоки выбранные из полных матриц соответствуют а блоки выбранные аналогичным образом из

соответствуют и единичный и нулевой вектор-столбцы с числом компонент, равным соответственно размерности масштабный множитель, необходимый для того, чтобы все элементы матрицы были величинами одного порядка