Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Основные уравнения

Основная задача, которую мы должны решить, может быть поставлена следующим образом (рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Двумерная однородная область А с изотропной проницаемостью ограничена поверхностью на одной части которой заданы граничные значения потенциала а на остальной части — значения нормальной компоненты скорости (потока) и. Внутри области А могут находиться источники или стоки определенной интенсивности в расчете на единицу площади. Требуется найти скорость течения и потенциал во всех внутренних точках области и на ее границе

В прямоугольной декартовой системе координат или уравнение неразрывности потока является уравнением Лапласа относительно потенциала

и должно выполняться во всех точках, за исключением тех, в которых находятся источники и стоки.

Здесь мы воспользовались правилом Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Это правило будет регулярно использоваться на протяжении всей книги для сокращения записи различных выражений. Тот, кто не знаком с этим правилом, может найти краткое объяснение в приложении А.

Соответствующие компоненты вектора «скорости» течения выражаются в виде

отвечающем закону Дарси, закону Ома и т. п.

Мы должны решить уравнение (3.1) внутри области А при заданных условиях на ее границе Так, если бы на всей границе был задан потенциал (задача Дирихле), то мы имели бы

а если бы была задана нормальная компонента скорости (задача Неймана), то

где

причем являются компонентами единичного вектора внешней нормали в точке В более общем случае смешанной граничной задачи на каждой части границы задается либо либо и.

Прежде чем переходить к рассмотрению фундаментальных решений уравнения (3.1), заметим, что весь последующий анализ непосредственно применим к однородным анизотропным областям, для которых проницаемость задается тензором второго ранга (см. приложение А). Соответствующее обобщение уравнения для потока записывается так:

в силу чего уравнение неразрывности принимает вид

с пространственно постоянными величинами

Однако если оси совпадают с направлениями главных осей тензора (т. е. приводится в них к диагональному виду с главными значениями проницаемости то это уравнение упрощается:

и путем введения нормированных координат преобразуется к виду (3.1): так что задача сводится к задаче для изотропной среды при

Таким образом, последующий анализ, проводимый при условии, что указанные выше преобразования выполнены, относится одновременно к задачам для изотропных и анизотропных областей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление