Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Сравнение прямого и непрямого методов граничных элементов

Читателю теперь, вероятно, должно быть ясно, что, хотя основные решения, используемые в прямом и непрямом вариантах метода (т. е. решения, отвечающие сосредоточенным возмущениям в бесконечной области), совпадают, между двумя подходами имеются существенные различия. Эти различия суммируются ниже.

1. Если для формулировки алгоритма непрямого МГЭ нам достаточно было воспользоваться простыми физическими соображениями и приемом введения «фиктивной» системы в неограниченной области, то прямой метод требует более изощренного подхода, который оказывается тесно связанным с использованием интегральных тождеств [7], например второй формулы Грина — уравнение (2.20) и теоремы взаимности Бетти — уравнение (2.30). Тем не менее в обоих методах для определения компонент матричных ядер в окончательных системах уравнений используются те же самые фундаментальные решения для неограниченной области.

Если, однако, читатель тщательно проследит за преобразованиями, то обнаружит, что в двух указанных реализациях МГЭ переменные х и I меняются местами. Так, в непрямом варианте должны быть найдены тогда как в прямом варианте в силу соотношения типа

окончательное решение должно быть выражено через Поскольку такие выражения, как, например, могут быть, вообще говоря, совершенно различными, эти два метода, как будет показано ниже, видимо, должны различаться гораздо существеннее, чем это может показаться на первый взгляд.

2. Дальнейшим следствием этого является то, что получение окончательной системы уравнений прямым МГЭ требует, как правило, значительно больше вычислений. Решение при этом обладает тем преимуществом, что в результате получаются реальные, а не фиктивные граничные значения, но за это приходится отчасти расплачиваться увеличением объема вычислений, требующихся для нахождения решений во внутренних точках.

3. Прямой метод не требует специального анализа ситуации, когда не удовлетворяет «условию нулевого излучения» на бесконечно удаленной границе, но и в непрямом методе необходимость

мость в таком незначительном видоизменении алгоритма никогда не возникает в трехмерных задачах, а также не является обязательной для всех одно- и двумерных задач. Например, фундаментальное решение в случае одномерных балочных систем на упругом основании [8] непосредственно удовлетворяет условиям равновесия на бесконечности, и поэтому в непрямом методе для этих задач не требуется введения дополнительных уравнений.

4. На этой стадии возникает естественный вопрос, являются ли непрямой (НМГЭ) и прямой (ПМГЭ) методы одинаково строгими: ведь первый из них обычно вводится путем привлечения лишь интуитивных соображений. В гл. 3 надлежащим образом будет показано, что соответствующие им процедуры действительно являются формально эквивалентными.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление