Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 14. КОМБИНИРОВАНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ДРУГИМИ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

14.1. Введение

Мы полагаем, что в предыдущих главах нам удалось продемонстрировать, сколь эффективным вычислительным аппаратом для решения задач в дву- и трехмерных областях сложной формы является МГЭ. С другой стороны, такие методы, как метод конечных элементов или конечных разностей, обладают несомненной привлекательностью в случае ограниченных областей и областей с сильно нелинейными геометрическими или материальными характеристиками. Таким образом, для некоторых задач может оказаться весьма плодотворным использование комбинированных методов; решения, получаемые при помощи этих методов, часто называются гибридными решениями.

Действительно, многие задачи механики деформируемого твердого тела и гидромеханики попадают в особую категорию, для которой нецелесообразно проводить дискретизацию лишь внутри области (что осуществляется методами конечных элементов либо конечных разностей) или же лишь на ее границе. Такие задачи, как

1) взаимодействие между конструкцией конечного размера и массивным деформируемым твердым телом, играющим роль основания (например, задачи взаимодействия конструкций с грунтом),

2) задачи механики разрушения,

3) взаимодействие между конструкцией и жидкостью, в которую она погружена, и т. д.,

постоянно привлекают внимание многих специалистов, которые и разработали алгоритмы комбинированных дифференциальных и интегральных методов. Например, Круз, Шоу, Сильвестер, Векслер Зенкевич и другие [1—13] предложили методы решения, основанные на комбинировании метода конечных элементов с МГЭ, и Бенерджи, Баттерфилд, Ву и другие [14—24] осуществили комбинирование методов конечных разностей с МГЭ.

В отличие от методов конечных элементов, для которых матрицы систем линейных алгебраических уравнений обычно являются симметричными, алгоритмы МГЭ, описанные в предыдущих главах, приводят к несимметричным матрицам. Поэтому, если небольшая система уравнений МГЭ должна быть объединена с большой системой метода конечных элементов, то для получения эффективного решения МГЭ необходимо модифицировать таким образом, чтобы соответствующие ему матрицы были симметричны. В противоположном случае, т. е. когда размер матрицы МГЭ велик по сравнению с

размером матрицы МКЭ, ее несимметричность не приводит к потере эффективности решения, так как любая несимметричная, но достаточно большая система МГЭ может быть увязана с симметричной системой метода конечных элементов. В любом случае две системы могут быть объединены лишь при удовлетворении условий совместности на внутренних границах.

Система уравнений МГЭ может быть сделана симметричной путем перехода от точечной пошаговой схемы, использованной для ее получения в предшествующих главах, к схеме, основанной на минимизации функционала энергии. Побочным результатом этого перехода является уменьшение вычислительных погрешностей вблизи ребер и углов, по крайней мере для непрямого метода, что обычно позволяет точнее прогнозировать погрешности расчетов. Однако такие решения оказываются существенно «дороже» решений, получаемых при помощи точечных пошаговых схем, и поэтому следует, насколько это возможно, стремиться к использованию несимметричных систем МГЭ, записанных для граничных переменных.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление