Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12.4. Соотношения прямого и непрямого МГЭ для нелинейных сред

После обсуждения, проведенного в предыдущем параграфе, очевидно, что соотношения прямого и непрямого МГЭ, полученные в гл. 6 и учитывающие внутреннее распределение объемных сил, начальных деформаций и начальных напряжений, могут быть непосредственно применены в рассматриваемом случае. Поэтому в зависимости от типа используемого соотношения алгоритмы МГЭ для нелинейных сред могут быть классифицированы так: (а) алгоритм, основанный на введении модифицированных объемных сил и модифицированных усилий на поверхности, (б) алгоритм, основанный на введении начальных напряжений (метод начальных напряжений), и (в) алгоритм, основанный на введении начальных деформаций (метод начальных деформаций).

(а) Алгоритм, основанный на введении модифицированных объемных сил и усилий на поверхности. Для подхода, использующего модифицированные объемные силы и усилия на поверхности, мы можем вывести следующие интегральные соотношения в произвольной точке границы §0 на основе уравнений (12.32) и (12.33):

в случае ПМГЭ. Для точки границы в НМГЭ имеем

где модифицированное усилие на поверхности:

а — модифицированная объемная сила:

Алгоритм, основанный на этих соотношениях, развит Бенерджи и Мусто [31], хотя сходимость и точность решения не вполне

удовлетворительны. Одна из основных привлекательных черт этого метода по сравнению с другими — то, что интегральные уравнения (12.35) - (12.37) приводят к более простым выражениям для напряжений внутри тела.

(б) Метод начальных напряжений. При постановке задачи в начальных напряжениях скорости начальных напряжений определяются так:

где

и тензоры упругих и упругопластических констант соответственно.

Уравнения равновесия принимают вид

Сразу видно, что член эквивалентен объемной силе и усилие на границе дается формулой

Итак, может быть получена система граничных интегральных уравнений, сходная с уравнениями (12.35)-(12.37). Единственная разница между ними заключается в объемных интегралах, включающих член с объемными силами. Например, в уравнении (12.35) интеграл с объемными силами принимает вид

Используя теорему Гаусса — Остроградского, объемный интеграл в правой части этого уравнения можно записать так:

Итак, подставляя уравнения (12.40)-(12.42) в уравнение (12.35), мы получаем соотношения ПМГЭ, использующие начальные напряжения:

где усилия на границе — реальные усилия и

Соответствующие соотношения непрямого метода могут быть выведены из уравнений (12.36) и (12.37) заменой объемных сил на

Замечая, что и что может быть заменено другим фиктивным усилием уравнение (12.44) может быть записано иначе:

где для удобства мы опустили штрих Читатель должен обратить внимание на то, что уравнения (6.39) и (12.45) совпадают, поскольку

Соответствующее уравнение для усилий на поверхности можно вывести или прямо из уравнения (12.45), как показано в или из уравнения (12.37) описанным выше способом. Это дает

Уравнения (12.45) и (12.46) могут быть использованы теперь для решения корректно поставленных граничных задач.

Эти соотношения, использующие начальные напряжения, были выведены и реализованы многими исследователями [32—37],

которые применили их для решения разнообразных дву- и трехмерных задач.

(в) Метод начальных деформаций. При постановке задачи в начальных деформациях скорости начальных деформаций определяются так:

где скорость полных деформаций, скорость упругих деформаций, тензор упругой податливости, ом — скорости изменения напряжений.

В упругопластичности начальная деформация есть просто приращение пластической деформации, но в теории вязкопластичности и в теориях, основанных на введении внутренних параметров, скорость начальной деформации играет роль скорости вязкопластической деформации или скорости неупругой деформации соответственно. Следовательно, основные уравнения для задачи с начальными деформациями совпадают с уравнениями (12.32) и (12.33). Поэтому, следуя описанной выше процедуре, мы получаем следующую запись ПМГЭ для граничной точки

где напряжение в точке х, обусловленное действием единичной силы приложенной в точке

Хотя уравнения (12.43) и (12.48) выглядят очень похоже, их реализация в виде процесса пошагового решения включает разработку довольно сильно различающихся алгоритмов, как показано ниже. Эквивалентная формулировка алгоритма начальных деформаций при помощи НМГЭ может быть получена аналогично. Уравнение (12.48) было впервые получено Сведлоу и Крузом [27]. Рикарделла [38], Мендельсон [39, 40] и Мухерджи [21—24] с сотрудниками разработали численные алгоритмы, основанные на этой формулировке.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление