Главная > Математика > Метод граничных элементов в прикладных науках
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11.2. Постановка задачи и основные дифференциальные уравнения

Элемент упругой пластины толщиной и жесткостью показан на рис. 11.1, а, б вместе с принятым соглашением о знаке краевых моментов и перерезывающих сил отнесенных к единице длины края; смещения пластины и углы наклона отнесены к серединной поверхности пластины; приложенные поверхностные нагрузки обозначены через а внешние моменты — через Соглашение о знаках состоит в том, что компоненты момента и угла наклона, обозначенные двойной стрелкой, выбираются по закону правого винта, движущегося вдоль стрелки [2].

Соотношения теории тонких пластин, связывающие эти величины, известны:

Рис. 11.1. (см. скан)

(здесь запятая обозначает частное дифференцирование по (см. приложение А), принимает только значения 1 и 2),

(это уравнение несколько упрощается в случаях, когда можно положить

[Заметим, что, так как различные величины отнесены к единице длины (или площади), величина имеет размерность силы и т. д.] Наконец, подставляя в проекцию уравнения равновесия на вертикаль результат дифференцирования соотношения (11.1в), мы приходим к бигармоническому уравнению

Читателю, не знакомому с теорией изгиба пластин, будет поучительно сравнить уравнения (11.1) с соответствующими уравнениями (2.11), (2.12) для простого стержня.

Как и прежде, нам будут нужны компоненты «разрешенные» вдоль внешней нормали в некоторой точке поверхности ограничивающей область А пластины произвольной формы (рис. 11.1, в), а именно

смысл компонент и соответствующих компонент показан на рисунке. Немедленный, но ошибочный вывод заключается в том, что в любой точке число независимых граничных переменных равно шести Мы должны уменьшить их число до четырех, так как уравнение имеет четвертый порядок. Чтобы сделать это, нужно учесть следующие факты.

1. Вектор удобно выразить через граничную нормальную и касательную компоненты (рис. 11.1,г).

здесь единичный вектор касательной к границе, такой, что где k — единичный вектор, направленный по оси (рис. 11.1,г).

Рис. 11.2.

2. Краевой крутящий момент можно объединить с (рис. 11.2,а) для получения результирующей граничной перерезывающей силы

3. Углы наклона, соответствующие будут связаны с нормальной и касательной компонентами угла наклона, скажем и (рис. 11.1,г) соотношением, эквивалентным (11.3), а именно

откуда

Таким образом, положив мы уменьшили число граничных переменных до четырех ().

Однако, включая в V при помощи соотношения (11.4) (рис. 11.2,а), мы затем обязаны рассматривать так называемые угловые силы (рис. которые порождаются в тех точках границы, где направление касательной к ней претерпевает разрыв.

Из соглашения о знаках (рис. 11.1,г) видно, что действие на разные стороны любого угла С будет разнонаправленным, и поэтому, если относятся к границе с разных сторон угла, то мы имеем

Эти угловые силы более подробно исследуются в § 11.5, в котором выводятся уравнения ПМГЭ.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление