Главная > Разное > Обработка изображений и цифровая фильтрация
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4.4. Неразделимая пространственно-зависимая функция рассеяния точки

Для систем отображения подобного типа о матрице функций рассеяния точки можно сказать очень мало, если не имеется дополнительных аналитических сведений.

Интересные экстремальные условия представления с помощью РСЗ возникают в случае идеального отображения. При этом

и норма разности между принимает значение

Но поскольку все собственные значения равны единице, получаем

Заметим, что вследствие кратности собственных значений здесь не существует единственного разложения по внешним произведениям сингулярных векторов. К сожалению, получаемая аппроксимация оказывается весьма неудачной функцией К, и в предельном случае идеального отображения РСЗ фактически перестает быть привлекательным методом. В другом предельном случае, когда с точностью до масштабного коэффициента определяется матрицей, целиком состоящей из единиц, мы имеем

и

поскольку

Другими словами, имеет ранг и идеально представляется одним сингулярным значением и соответствующим ему внешним произведением. По-видимому, в промежутке между этими двумя предельными случаями существует некоторый континуум

При реставрации нам желательно инвертировать матрицу размера таким образом, чтобы получить наилучшую оценку оригинала Следовательно,

и поскольку

оригинал выражается в виде

Внутреннее произведение вместе с определяет скалярное взвешивание сингулярного вектора оценка принимает вид

где выражение для частичной суммы использовано, чтобы указать на сходимость к истинному оригиналу, если действительно несингулярна. Кроме того-, вычисление частичных показывает, что в ЦВМ не обязательно одновременно хранить пол. набор изображений и матриц функции рассеяния точки.

Без дополнительных сведений об инверсия этого наиболее общего случая систем отображения оказывается затруднительной. Однако, как было показано в предыдущих разделах, предположение о разделимости позволяет получить значительную экономию в вычислениях. Поэтому может оказаться полезной аппроксимация наиболее общей рядом разделимых функций. Таким образом,

или

и, следовательно,

Однако инверсия есть инверсия суммы кронекеровых произведений, а не сумма их инверсий, и это порождает сомнения относительно полезности (2.66а). Возможна также полиномиальная аппроксимация степенным рядом в виде

или

откуда следует

Однако и в этом случае требуется инвертировать сумму аппроксимирующего ряда. Таким образом, инверсия системы отображения наиболее общего вида связана с существенными вычислительными трудностями.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление