5.10. ËÈÍÅÉÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ ÏËÀÇÌÅÍÍÎ-ÏÓ×ÊÎÂÎÉ ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
Ýòà ìîäåëü ðàññìàòðèâàåò ïó÷îê, èíæåêòèðóåìûé â ñòàöèîíàðíóþ ïëàçìó, è õîðîøî èçó÷åíà òåîðåòèêàìè è èññëåäîâàòåëÿìè, èñïîëüçóþùèìè ÷èñëåííûå ìåòîäû. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âàðèàíòîâ ïîñòàíîâêè çàäà÷è: õîëîäíàÿ èëè ãîðÿ÷àÿ ïëàçìà, ñëàáûé èëè ñèëüíîòî÷íûé ïó÷îê, êîíâåêòèâíàÿ èëè àáñîëþòíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü, ëèíåéíûå, êâàçèëèíåéíûå è íåëèíåéíûå ýôôåêòû, ïåðèîäè÷åñêàÿ èëè áåçãðàíè÷íàÿ ìîäåëü è ò. ä. Ðàññìîòðèì òîëüêî îäèí èëè äâà ñëó÷àÿ, îòíîñÿùèõñÿ ê àáñîëþòíîé íåóñòîé÷èâîñòè â ïåðèîäè÷åñêîé ìîäåëè. Ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ýòîé çàäà÷è ÷èòàòåëü ìîæåò èññëåäîâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî.
Ïîñëå èññëåäîâàíèÿ äâóõïîòîêîâîé íåóñòîé÷èâîñòè åñòåñòâåííî ïåðåéòè ê èçó÷åíèþ ïëàçìåííî-ïó÷êîâîé ñèñòåìû. Ïåðâûå òåîðåòè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû ïî óñèëåíèþ áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòå [Boyd å.à.; 1958]. Ïðè èíæåêöèè ýëåêòðîííîãî ïó÷êà â äëèííóþ ãàçîðàçðÿäíóþ òðóáêó áûëî ïîëó÷åíî óñèëèå ÑÂ×-ñèãíàëà ñàíòèìåòðîâîãî äèàïàçîíà. Ïåðåä ââîäîì â ïëàçìó ïîòîê ìîäóëèðîâàëñÿ, à íà âûõîäå èç ïëàçìû ìîäóëÿöèÿ óñèëèâàëàñü. Ïðèáîð âûçâàë áîëüøîé èíòåðåñ âîçìîæíîñòüþ ãåíåðàöèè ìèëëèìåòðîâûõ âîëí, òàê êàê ïó÷îê ïðîõîäèë ÷åðåç ïëàçìó è íå òðåáîâàëîñü èñïîëüçîâàíèå çàìåäëÿþùåé ñèñòåìû ñ ìàëûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ðàçìåðàìè, êîòîðàÿ ìîãëà áûòü ïîâðåæäåíà èíòåíñèâíûì ýëåêòðîííûì ïó÷êîì.  áîëåå ïîçäíåé ðàáîòå [Gentle and Lohr, 1973] áûëè ðàññìîòðåíû íåëèíåéíûå ýôôåêòû. Ýòà çàäà÷à äî ñèõ ïîð ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ äëÿ èññëåäîâàòåëåé.
Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïëàçìåííî-ïó÷êîâàÿ íåóñòîé÷èâîñòü àíàëîãè÷íà äâóõïîòî÷íîé, ðàññìîòðåííîé â § 5.6. Âñå òå æå èäåè ìîæíî èñïîëüçîâàòü çäåñü, åñëè ââåñòè íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Îñíîâíûì îòëè÷èåì áóäåò òî, ÷òî ïëîòíîñòü ïó÷êà
ñóùåñòâåííî ìåíüøå ïëîòíîñòè ïëàçìû
ò. å.
(ìîäåëü ñëàáîãî ïó÷êà).
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåêòðîíàìè ïðè íåïîäâèæíîì èîííîì ôîíå, ò. å. ïðè
Ðèñ. 5.15. Ïðèáëèæåííàÿ (áåç ó÷åòà ñâÿçè) äèñïåðñèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ ìîäåëè ñëàáîãî ïó÷êà
ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà è ñêîðîñòü ïó÷êà;
ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà ïëàçìû;
-ëèíèè ýëåêòðîííîãî ïó÷êà:
-ëèíèÿ êîëåáàíèé ýëåêòðîíîâ ïëàçìû. Ñâÿçü ìåæäó âîëíàìè ïðîñòðàíñòâåííîãî çàðÿäà ïó÷êà è êîëåáàíèÿìè ïëàçìû âîçíèêàåò â îáëàñòÿõ
Äèñïåðñèîííûå çàâèñèìîñòè äëÿ ïëàçìû è ïó÷êà áåç ó÷åòà èõ ñâÿçè ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.15. Äîìèíèðóþùåé ÷àñòîòîé, åñòåñòâåííî, áóäåò ñîðð, è îñíîâíîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò îáëàñòü âîëíîâûõ âåêòîðîâ âáëèçè
Äëÿ õîëîäíîé ïëàçìû è õîëîäíîãî ïó÷êà äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå èìååò âèä
Ââîäÿ íîðìèðîâàííûå ïåðåìåííûå, îïðåäåëÿåìûå ñîîòíîøåíèÿìè
óðàâíåíèå (5.81) çàïèøåì â âèäå, óäîáíîì äëÿ ðåøåíèÿ:
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
-äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, è ðåøèì óðàâíåíèå (5.83) îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé
ïîëó÷èì äëÿ êàæäîãî Ê ÷åòûðå çíà÷åíèÿ
Ðåøåíèÿ ïîêàçàíû íà ðèñ. 5.16 äëÿ çíà÷åíèé
Îòìåòüòå íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ïðîãðàììû ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêîâ è âû÷èñëåíèÿ êîðíåé óðàâíåíèé. Íà ðèñ. 5.17 ïîêàçàíû çíà÷åíèÿ ìàêñèìàëüíîãî èíêðåìåíòà
à òàêæå þã è ê, ãäå
Âèäíî, ÷òî âíà÷àëå îòíîøåíèå
ðàñòåò êàê
(ñëàáûé ïó÷îê), à çàòåì êàê
(ñèëüíûé ïó÷îê). Ãðàíèöà ìåæäó ýòèìè çàâèñèìîñòÿìè îïðåäåëÿåòñÿ íà ãëàç èëè æå ïðèðàâíèâàíèåì ýòèõ äâóõ âåëè÷èí, îòêóäà èìååì
êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ýòó ãðàíèöó íå ñëåäóåò âîñïðèíèìàòü âñåðüåç. Îíà òîëüêî óêàçûâàåò íà ïåðåõîäíóþ îáëàñòü îò òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ
(ñì. ðèñ. 5.16, à è á) ê ÷åòûðåõâîëíîâîìó ñ
(ñì. ðèñ. 5.16, â).
Äëÿ ñëàáûõ ïó÷êîâ âèäíî, ÷òî ìàêñèìàëüíûé èíêðåìåíò äîñòèãàåòñÿ âáëèçè òî÷êè ñèíõðîíèçìà  (ñì. ðèñ. 5.15), ïðè÷åì
Çàìåòèì, ÷òî äàæå î÷åíü ñëàáûé ïó÷îê ñ ïëîòíîñòüþ, â
ðàç ìåíüøåé ïëîòíîñòè ïëàçìû, ñîçäàåò çàìåòíóþ íåóñòîé÷èâîñòü — â ýòîì ñëó÷àå èíêðåìåíò ðàâåí
Ðèñ. 5.16. Äåéñòâèòåëüíûå è ìííìûå êîðíè äèñïåðñèîííîãî óðàâíåíèÿ (5.83) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
â —0,1. Íà ðèñ. 5.16,à ïàðíûå êîìïëåêñíûå êîðíè ïîìå÷åíû áóêâàìè à à
îñòàëüíûå êîðíè — ÷èñòî äåéñòâèòåëüíûå. Êîðíè ñ
íå ïîêàçàíû
íà îäèí ïëàçìåííûé ïåðèîä, ò. å. èìååò ìåñòî íàðàñòàíèå â 10 ðàç çà 5,5 ïåðèîäà. Áîëåå òî÷íûå ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíû â ðàáîòå [Bers, 1972]. Äëÿ ñèëüíûõ ïó÷êîâ âçàèìîäåéñòâèå èç òî÷åê
ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 5.15, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â òî÷êè
(ðèñ. 5.18) è òðåõâîëíîâîå âçàèìîäåéñòâèå ïåðåõîäèò â ÷åòûðåõâîëíîâîå ñ
.  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ðàçîáðàòüñÿ ñ ïðîáëåìîé íåéòðàëüíîñòè ñèñòåìû. Íåðàâåíñòâî (5.23) ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî ïëîòíîñòü ýëåêòðîííîãî ïó÷êà áîëüøå íå ðàâíà ïëîòíîñòè ýëåêòðîíîâ ôîíîâîé ïëàçìû; ïîñëåäíÿÿ îáû÷íî ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé ôîíîâîé ïëîòíîñòè èîíîâ, òåïåðü æå ýòîãî íåäîñòàòî÷íî äëÿ íåéòðàëüíîñòè ñèñòåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, â ïëàçìå ïëîòíîñòü èîíîâ äîëæíà áûòü áîëüøå ïëîòíîñòè ýëåêòðîíîâ:
Ýòî ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò íàøèõ ïåðâîíà÷àëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé, òàê êàê òåïåðü íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü ïó÷îê êàê ñëàáîâîçìóùàþùèé. Êîíå÷íî, ìîæíî áûëî áû ðàññìîòðåòü âñå èîíû êàê ôîí, òàê ÷òîáû
è âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
Òàêàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñêâîçü èîíû áûëà èññëåäîâàíà â ðàáîòå [Buneman, 1959], ÿâèâøåéñÿ çàìåòíîé âåõîé â ìîäåëèðîâàíèè ïëàçìû. Ýòà æå ìîäåëü áûëà èñïîëüçîâàíà â ðàáîòå [Pierce, 1948] äëÿ ïîèñêà îáúÿñíåíèé ëîæíûõ ñèãíàëîâ, îòëè÷àþùèõñÿ îò ÷àñòîòû ÑÂ×-ñèãíàëà íà âåëè÷èíó èîííîé ïëàçìåííîé ÷àñòîòû, êîòîðûå íàáëþäàëèñü â
Ðèñ. 5.17. Ìàêñèìàëüíûé èíêðåìåíò äëÿ ñèñòåìû õîëîäíûé ïó÷îê — ïëàçìà êàê ôóíêöèÿ îòíîøåíèÿ ïëîòíîñòè ïó÷êà ê ïëîòíîñòè ïëàçìû
×èñëà íàä ëèíèåé ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì
à ïîä
ïðè ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè èíêðåìåíòà. Çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ ïëîòíîñòåé
îòìå÷åíî êàê ãðàíèöà, ðàçäåëÿþùàÿ íàðàñòàíèå ïðîïîðöèîíàëüíî
Ðèñ. 5.18. Äèñïåðñèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ ìîäåëè ñèëüíîãî ïó÷êà áåç ó÷åòà ñâÿçè. Ñâÿçü ìåæäó ïó÷êîì è ïëàçìîé â îáëàñòÿõ
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâà äâóõâîëíîâûõ âçàèìîäåéñòâèÿ
ýëåêòðîííûõ ëàìïàõ (òðèîäàõ, òåòðîäàõ è ò. ä.). Ðåøàëîñü òî æå ñàìîå äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå (5.81), íî äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ
è êîìïëåêñíûõ k. Ìîäåëü ðàññìàòðèâàëàñü êàê òåîðåòè÷åñêè, òàê è ìåòîäàìè âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà â ðàáîòàõ [Ishihara å.à., 1980, 1981], ãäå áûëà ïîêàçàíà ðîëü ïðîñòðàíñòâåííûõ ãàðìîíèê ïðè íàñûùåíèè íåóñòîé÷èâîñòè.
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÷èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü äâå ðàçëè÷íûå ìîäåëè:
1) ìîäåëü ñëàáîãî ïó÷êà:
êîãäà ñëàáûé ýëåêòðîííûé ïó÷îê ââîäèòñÿ â ïëàçìó ñ õîëîäíûìè ïîäâèæíûìè ýëåêòðîíàìè ñóùåñòâåííî áîëüøåé ïëîòíîñòè. Èîíû ïëàçìû íåïîäâèæíû,
Óñëîâèå íåéòðàëüíîñòè çàäàåòñÿ ïðîãðàììíûì ñïîñîáîì ïóòåì îáíóëåíèÿ ïîëíîé ïëîòíîñòè çàðÿäà;
2) ìîäåëü ñèëüíîãî ïó÷êà:
ñîðð, êîãäà ýëåêòðîííûé ïó÷îê äâèãàåòñÿ ñðåäè ïîäâèæíûõ õîëîäíûõ èîíîâ ðàâíîé ïëîòíîñòè, íî
Êîíå÷íî, âû ìîæåòå âûáðàòü è äðóãèå âàðèàíòû.