Ãëàâíàÿ > Ôèçèêà > Ôèçèêà ïëàçìû è ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

14.8. ÒÎ×ÍÎÑÒÜ ÊÎÍÅ×ÍÎ-ÐÀÇÍÎÑÒÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÓÀÑÑÎÍÀ

 äâóõìåðíûõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïðîãðàììàõ ïîòåíöèàë âû÷èñëÿåòñÿ èç ïëîòíîñòè çàðÿäà ïðè ïîìîùè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (14.2), (14.3). Ïîãðåøíîñòü (ò. å. ñëåäóþùèå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ Òåéëîðà [Collatz, 1966] èìååò âèä

 ïåðèîäè÷åñêèõ ìîäåëÿõ, èñïîëüçóþùèõ ðàçëîæåíèå Ôóðüå, êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ïîòåíöèàëà è ïëîòíîñòè çàðÿäà ñâÿçàíû ïðè ïîìîùè ôóíêöèè (ñì. § 8.9. 14.5). Ðàçíîñòü ìåæäó êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì âûðàæåíèåì çàâèñèò îò (êàê è â îäíîì èçìåðåíèè), à òàêæå îò

íàïðàâëåíèÿ k. Âëèÿíèå ïðÿìîóãîëüíîñòè ñåòêè íà õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé îïðåäåëÿåìîé è ìàëîì ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Óìíîæàþùèéñÿ íà ìàëóþ âåëè÷èíó ÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ðàâåí 1 âäîëü ëþáîé îñè è 1/2 ïðè Àíèçîòðîïèÿ õîðîøî âèäíà íà èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 14.13 êîíòóðíîé êàðòå äëÿ êîíòóðû áëèæå ê êâàäðàòó, ÷åì ê êðóãó (êàê õîòåëîñü áû); íà ðàäèóñå èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ

Äëÿ òîãî ÷òîáû óëó÷øèòü (óìåíüøèòü ïîãðåøíîñòü) è (óìåíüøèòü àíèçîòðîïèþ è ïðèáëèçèòü ýòó âåëè÷èíó ê 1), ïîñìîòðèì, íåëüçÿ ëè ÷åãî-íèáóäü äîáèòüñÿ ïðè ïîìîùè êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ ëàïëàñèàíîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà — ýòî íå îáÿçàòåëüíî îçíà÷àåò èñïîëüçîâàíèå êîíå÷íî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà — òî÷êà çðåíèÿ, ðàçâèâøàÿñÿ, íàïðèìåð, â ðàáîòå [Forsythe, Wasow, 1960]. Òåì íå ìåíåå ðàññìîòðèì êàêîé-íèáóäü èç ïðèâåäåííûõ â êíèãå [Collatz, 1960] øàáëîíîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà äëÿ Îäíà èç ýòèõ äåâÿòèòî÷å÷íûõ ôîðì (ïðè

áûëà èñïîëüçîâàíà â ðàáîòå [Birdsall, Fuss, 1969]. Ïîãðåøíîñòü òåïåðü ìåíüøå, ÷åì îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (14.42); çàðÿä ñîáèðàåòñÿ ïî ïÿòè òî÷êàì. Åñëè èñïîëüçîâàòü äâîéíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, òî, ïîñêîëüêó ëåãêî ñîáðàòü èç òî÷åê îáúåì âû÷èñëåíèé âûðàñòàåò íåçíà÷èòåëüíî. Êîíòðàñò ìåæäó ñèëàìè, âîçíèêàþùèé ïðè èñïîëüçîâàíèè ïÿòè- è äåâÿòèòî÷å÷íûõ øàáëîíîâ, ïîêàçàí íà ðèñ. 14.8. Îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò çàêëþ÷àåòñÿ â áîëåå ìåäëåííîì ïî ñðàâíåíèþ ñ (14.43) èçìåíåíèè ÷òî è ïðèâîäèò ê íóæíîìó ðåçóëüòàòó — áîëåå âûñîêîé èçîòðîïèè ïðè ïðè ðàäèóñå, ðàâíîì èçìåíÿåòñÿ íà

Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå ñîâåðøàåòñÿ ïðè ïîìîùè ðÿäîâ Ôóðüå, òî ìîæíî ïðèäóìàòü è èñïîëüçîâàòü êîìïåíñàöèþ óìåíüøåíèÿ è àíèçîòðîïèè Ðàçóìååòñÿ, ìîæíî âû÷èñëèòü ïðîñòî èç òåì íå ìåíåå ýòîò ïóòü ïîäðàçóìåâàåò íåëîêàëüíûé êîíå÷íî-ðàçíîñòíûé àëãîðèòì, è åãî íåäîñòàòêè îáñóæäàþòñÿ â ïðèëîæåíèè

 êîíöå êîíöîâ êàê áû ïîäðîáíî ìû íè èçó÷àëè òî÷íîñòü ýòîãî ïîñëåäíåãî øàãà ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî èíòåðåñóåò íàñ ïîëíàÿ òî÷íîñòü âñåõ ÷åòûðåõ øàãîâ

Ðèñ. 14.13. Ëéíèè óðîâíÿ ôóíêöèè äåìîíñòðèðóþò àíèçîòðîïèþ äâóõìåðíîãî ïÿòèòî÷å÷íîãî êîíå÷íî-ðàçíîñòíîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà (ò. å. ëèíèè íå ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè)

Ó ïÿòèòî÷å÷íîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà, áåçóñëîâíî, ïîãðåøíîñòü êâàäðàòè÷íà (÷òî, â îáùåì, ïðèåìëåìî), à ó äåâÿòèòî÷å÷íîãî åùå ìåíüøå. Òåì -íå ìåíåå ïîãðåøíîñòü íà øàãå íàì åùå ïðåäñòîèò íàéòè. Åñëè ýòà ïîãðåøíîñòü ïðåâûñèò ïîãðåøíîñòü íà øàãå ïðè èñïîëüçîâàíèè ïÿòèòî÷å÷íîãî ëàïëàñèàíà (à ýòî íå èñêëþ÷åíî), òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü «ëó÷øèì» äåâÿòèòî÷å÷íûì îïåðàòîðîì.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå