Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 97. Природа сходимости нормально или квази-нормальной последовательности.

Мы видели, что последовательность голоморфных функций, принадлежащих семейству нормальному или квази-нормальному в области, не может сходиться в этой области неравномерно, и что сходимости этой последовательности в бесконечном множестве точек, взятом полностью внутри области, достаточно, чтобы утверждать сходимость внутри этой области.

Докажем аналогичное предложение для мероморфных функций:

Бесконечная последовательность мероморфных функций:

принадлежащих семейству, нормальному в области сходящаяся в каждой точке области, сходится равномерно во всякой области, внутренней для

Пусть область, внутренняя для Если сходимость неравномерна в то существует точка из в окрестности которой сходимость неравномерна. Обозначим через функцию, предельную для последовательности: можно предполагать, что не является полюсом потому что можно последовательность заменить последовательностью эти две последовательности будут одновременно равномерно сходящимися.

Так как в окрестности точки сходимость неравномерна, то существует число 8 такое, что в круге радиуса и с центром найдутся точки и найдется функция последовательности, для которых

Так как семейство функций нормально в то можно выбрать из последовательности новую последовательность которая сходится равномерно в области взятой внутри и содержащей Следовательно, если достаточно велико, то во всякой точке из будем иметь:

я это противоречит предположению, что точек имеем;

Итак, сходимость равномерна в

Теорема не приложима к семействам квази-нормальным. Например, последовательность

сходится во всякой точке плоскости, но сходимость не будет равномерной в окрестности иррегулярной точки

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление