Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 93. Быстрота сходимости. Распространения теоремы Стилтьеса.

Рассмотрим теперь последовательность функций голоморфных в

области и сходящихся равномерно в некоторой внутренней области к голоморфной функции обозначим через максимальный модуль разности Число стремится к нулю вместе с и быстрота роста — может измерять быстроту равномерной сходимости в

Допустим, что остается голоморфной в области содержащей и содержащейся в Мы можем провести два круга, имеющие общим центром точку, внутреннюю области первый полностью внутри второй внутри Пусть — максимальный модуль Если ограничено, каково бы ни было , то последовательность сходится в в силу теоремы Стилтьеса. Допустим, что бесконечно возрастает, и проведем круг радиуса заключенного между радиусами кругов обозначим через максимальные модули разности на можно взять на и так как на

то берем отсюда выводим:

Тогда если не слишком быстро растет, то последовательность вводится равномерно в круге Допустим, например, что

остается ограниченным Можно написать:

если

Беря у настолько близким к единице, чтобы т. е.

обеспечим сходимость в соответствующем круге если растет менее быстро по отношению к если, например, произведение

остается ограниченным и меньшим то

будет выражение, которое стремится к нулю вместе каково бы было у. Последовательность сходится во всем круге

Можно ядро сходимости заменить дугой кривой внутри достаточно сделать конформное отображение плоскости, в которой сделан разрез на внешность круга, чтобы свести к предыдущему случаю. Можно также заменить эту дугу кривой счетным множеством точек, имеющих предельную точку внутри тогда, чтобы результат оставался верным, надо сделать специальные предположения о структуре этого множества.

Теперь мы выведем из неравенства Адамара важный, результат, относящийся к сравнению быстроты сходимости последовательности голоморфных функций в двух частях ее области сходимости. Для непрерывных неаналитических функций быстрота сходимости может сильно изменяться от одной части к другой; для аналитических функций эта быстрота сравнима в том смысле, что, обозначая через наиболь модули разности в двух частях, получим отношение

остающееся, как показал, Островский, заключенным между фиксированными пределами.

Пусть — области, содержащиеся внутри области сходимости которую мы считаем односвязной и О точка внутри Мы можем отобразить конформно на внутренность круга так, чтобы точка О соответствовала точке Тогда областям будут соответствовать две области и принадлежащие причем первая содержит начало. Проведем круг концентрический кругу радиусом настолько малым, чтобы он содержался в и круг настолько большой, чтобы он содержал и пусть окружность, ограничивающая Назовем функции, полученные из первоначальных при этом конформном отображении, и предельную для них функцию, голоморфную в замкнутой области Числа пусть относятся к и к кругам и Имеем:

где обозначает максимум модуля Так как сходимость равномерна, то начиная с некоторого индекса,

и можно взять В результате

Число у зависит только от вида оно не зависит от Можно было бы видеть, что и обратное отношение ограничено.

Например, нельзя иметь

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление