Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 62. Нормальное семейство.

Рассмотрим семейство функций мероморфных в области мы говорим, что семейство нормально в этой области, если всякая последовательность функций из семейства порождает подпоследовательность, сходящуюся равномерно внутри т. е. во

всякой области лежащей целиком внутри Предельная функция есть функция мероморфная, или постоянное конечное или бесконечность: такое постоянное рассматривается как особая мероморфная функция.

Свойство семейства функций быть нормальным в области инвариантно при всяком линейном преобразовании с постоянными коэфициентами, совершенном над функциями семейства.

Семейство функций, мероморфных в области значения которых представляются точками сферы Римана, находящимися вне некоторой области, сколь угодно малой, есть семейство нормальное, потому что или , где — сообразно выбранное постоянное, ограничены.

Семейство мероморфных в функций, имеющих три исключительных значения есть также нормальное семейство, потому что линейное преобразование;

приводит к семейству функций голоморфных в области где они не принимают ни значения нуль, ни значения единица. Оба семейства нормальны одновременно.

Рассмотрим еще семейство мероморфных в функций, имеющих исключительное значение порядка (т. е. такое, что уравнение имеет только такие корни, кратность которых делится на исключительное значение в порядка и исключительное значение с порядка причем

Это семейство нормально; чтобы это доказать, достаточно повторить рассуждения § 32. При выбранном определении равномерной сходимости последовательности мероморфных функций наличие вершин внутри области, описываемой в плоскости значениями предельной функции, не нарушает равномерной сходимости последовательности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление