Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 43. Обобщения.

Вернемся к случаю, когда голоморфна вблизи особой точки О. Мы доказали, что семейство не может быть нормальным в предположении, что имеет вблизи О одно конечное исключительное значение нуль. Но это предположение не является необходимым, и мы увидим, что это семейство ни в одном случае не будет нормальным. Всякий признак, позволяющий утверждать, что это семейство нормально, не может выполняться, и каждый новый признак будет давать нам новую теорему типа теоремы Пикара.

В самом деле, предположим, что это семейство нормально, и пусть будет бесконечная последовательность точек, модули которых убывают и стремятся к нулю и в которых функция принимает одно и то же конечное не исключительное значение. Точка заключена в кольце следовательно, точка заключена в и

Последовательность состоит из функций, ограниченных в потому что эта последовательность по предположению нормальна и каждая функция принимает значение а в некоторой точке из Приходим к заключению, что ограничена вблизи начала. Тем же самым способом докажем, что семейство не может быть квазинормальным.

Если функция голоморфна вблизи изолированной существенно особой точки, то не существует двух значений таких, чтобы все нули функции а имели бы кратность у делящуюся на все нули функции имели бы кратность у делящуюся на а целые числа тип удовлетворяли бы неравенству:

В противном случае семейство функций было бы нормальным в В частности, можно предположить, что голоморфна около бесконечно удаленной точки; тогда, считая равными нулю и единице, имеем:

где голоморфны вне достаточно большого круга; отсюда выводим, что

Итак, это тождество, если не может выполняться для двух целых функций и даже для двух функций, голоморфных вне некоторого круга.

Если функция голоморфна вблизи изолированной существенно особой точки, в начале координат, то не может существовать двух значений таких, что числа нулей функций содержащихся в кольце

остаются ограниченными, потому что в противном случае семейство будет квазинормальным; но число нулей может оставаться ограниченным для одного значения. Например функция

где есть действительное число, большее двух, имеет в каждом кольце не больше одного нуля.

Чтобы образовать семейство мы можем вместо множителя взять где произвольное действительное число; два семейства

нормальны одновременно, потому что функции принимают одни и те же значения в а также в

Мы можем выбрать числа произвольно; например мы можем предположить их связанными с числами так что точка будет помещаться на кривой, произвольно выбранной и проходящей через начало.

Пусть есть кривая, определенная в интервале так что семейство функций

не будет нормальным в кольце если голоморфна вблизи особой точки Доказательство не изменится.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление