Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 33. Обобщение.

Эта теорема допускает непосредственное обобщение: семейство функций голоморфных в обмети где все нули функции имеют кратность, делящуюся на и нули функции имеют кратность, делящуюся на причем выполняется условие есть семейство, нормальное в этой области.

Теорема предыдущего параграфа соответствует произвольным тип. Выберем целое число такое, что и построим основной треугольник имеющий углы пусть -функция, определенная соответствующей сетью. Функция голоморфна в области в самом деле, замкнутый путь, расположенный в приводится к некоторому числу петель, охватывающих нули функций Пусть есть нуль функции например; когда описывает петлю около аргумент возрастает на число, кратное обращается вокруг начала, и число сделанных оборотов есть число кратное следовательно, опишет замкнутую кривую.

Для близких к можно написать:

где целое и голоморфная функция, отличная от нуля в С другой стороны, если есть значение соответствующее изменяющемуся по петле, то может быть разложено в ряд расположенный по целым степеням и следовательно,

где есть ряд, целый относительно

Итак, функция однозначна и, кроме того, голоморфна в каждой точке Можно применить рассуждения предыдущего параграфа. Область может содержать здесь вершины, соответствующие А или В, но это нисколько не изменяет результата, потому что голоморфна в этих точках.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление