Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 25. Нормальное семейство функций N.

Рассмотрим функции голоморфные в круге и являющиеся отношением двух ограниченных

функций, которые мы всегда принимаем не превосходящими по модулю единицы. Сумма и произведение двух функций этого семейства принадлежат тому же семейству.

Среди этих функций рассмотрим семейство функций, для которых справедливо неравенство:

каково бы ни было и какова бы ни была функция семейства. Это семейство есть нормальное семейство. В самом деле, пусть

— бесконечная последовательность функций семейства; можно выделить подпоследовательность такую, что последовательности сходятся равномерно к голоморфным пределам С другой стороны, если взять для каждой функции функцию

то видно, что

Итак, и, так как ни одна не обращается в нуль, функция не обращается в нуль в области Следовательно, последовательность сходится равномерно к голоморфной функции

Итак, рассматриваемое семейство есть нормальное семейство.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление