Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 24. Частные ограниченных функций.

Вот непосредственное приложение теоремы. Пусть

будет бесконечная последовательность областей, вложенных одна в другую и имеющих пределом область которая их содержит, и пусть функция голоморфна внутри есть функция, гармоническая в и регулярная вне точек, где обращается в нуль: в этих точках рассматриваемая функция принимает значение —

Обозначим через гармоническую функцию, правильную в и принимающую на границе этой области те же значения, что и

если

и

если

Во всякой точке области функция , так как она не отрицательна на границе. Далее, во всякой точке внутренней к имеет место неравенство:

Это неравенство очевидно, если так как в этом случае

Чтобы доказать его для всякой точки, окружим каждый из нулей кружком, настолько малым, чтобы на окружности (а следовательно, и внутри нее), было и чтобы кружки не пересекались между собой.

Функция будет правильной гармонической в области, полученной из путем выбрасывания точек, внутренних к кружкам. На границе, а следовательно, и внутри этой области:

В частности, в точках, в которых имеем:

и так как в них

то наше неравенство доказано в полном обьеме. Из неравенства

следует, что последовательность не убывает. В самом деле, для точек, лежащих на имеем

Это неравенство имеет место на а следовательно, и внутри Последовательность была рассмотрена и Неванлинна Обозначение:

где функция действительного переменного также введено ими. В силу теоремы Харнака, если последовательность ограничена в некоторой точке внутри то она имеет пределом функцию гармоническую в и так как на выполняется неравенство:

то имеем:

или

Обозначим через функцию где есть функция сопряжения . Имеем:

Если назовем произведение то видим, что

Функция внутри есть частное двух ограниченных функций, из которых вторая не обращается в нуль в

Обратно, пусть дана функция голоморфная в и равная отношению двух функций ограниченных в можно, очевидно, положить

разделив в случае надобности числитель и знаменатель дроби на число, большее их верхних пределов.

Имеем:

и так как правая часть неотрицательна, то

Итак, на имеем:

это неравенство имеет силу и в Следовательно, функции ограничены и обратное предложение доказано. Заставляя неограниченно расти, получаем:

т. е., обозначая через и функции, введенные в предыдущем:

и так как

то

Другими словами, функции имеют наибольший модуль среди всех пар функций, не превосходящих по модулю единдаы, отношение которых равно

Итак, мы доказали теорему Ф. и Р. Нэванлинна. Для того чтобы функция голоморфная в области являлась отношением двух функций, ограниченных в этой области, необходимо и достаточно, чтобы последовательность гармонических функций которые принимают значения на контурах вложенных одна в другую областей, имеющих пределом была ограничена в некоторой точке области

Назовем функцией всякую функцию, являющуюся отношением двух ограниченных функций.

Если есть круг радиуса единица, то достаточно выразить, что значения ограничены в центре Но если взять для концентрические круги, то, так как значение в центре есть среднее для значений на окружности радиуса будем иметь:

и условие принимает вид:

каково бы ни было где обозначает фиксированное число. Заметим еще, что неравенство влечет и следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление