Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Число нулей функций нормального семейства.

Если семейство, нормальное в области не имеет ни одной предельной функции, равной постоянному а, то число нулей содержащихся внутри ограниченно для всех функций семейства.

Когда мы говорим о нулях, находящихся внутри мы понимаем, под этим, что речь идет о нулях, находящихся в области заключенной полностью внутри

В самом деле, предположим, что это число неограниченно; тогда можно найти функцию семейства такую, что а имеет не менее одного нуля; функцию такую, что а имеет не менее двух нулей и т. д. Из последовательности

я выбираю подпоследовательность

которая в области сходится равномерно к функции

Функция не равна тождественно бесконечности, потому что все функции последовательности принимают значение а не менее, чем в одной точке области, следовательно, она голоморфна, и так как она не равна тождественно постоянному а, она принимает конечное число раз значение для достаточно большого должна принимать то же самое число раз значение а, что противоречит гипотезе.

Теоремы, доказанные в § 10 и 17, позволяют нам дать первый пример нормального семейства: семейство функций, значения которых не попадают в некоторую область на сфере Римана 1).

Но мы скоро увидим, что семейство голоморфных функций нормально, если оно имеет два конечных исключительных (exceptionnelles) значения, иначе говоря, если существует два конечных значения, которых ни одна функция семейства не принимает.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление