Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Нормальные и ограниченные семейства.

Если для функций семейства, нормального в области множество значений в одной фиксированной точке этой области ограничено, то функции ограничены в своей совокупности в каждой области, заключенной строго внутри

Пусть семейство функций ограничено в точке и замкнутая область заключенная строго внутри содержит имеем:

какова бы ни была функция семейства.

Если функции не будут ограничены в то можно найти последовательность функций

и последовательность точек

области таких, что

из последовательности я выбираю последовательность которая сходится равномерно в к функции Эта функция не может быть тождественной бесконечностью, потому что ограничены в следовательно, она ограничена в Пусть ее верхняя граница: так как сходимость равномерна, то будем иметь при любом достаточно большом во всей области

что противоречит гипотезе, что

итак, предложение доказано.

Теорема Стилтьеса и теорема Витали, доказанные для последовательности функций, ограниченных в области остаются справедливыми

для последовательности функций, принадлежащей семейству, нормальному в в самом деле, функции этой последовательности, будучи ограниченными в некоторой точке сходимости, будут ограничены внутри всякой области содержащей эту точку сходимости и содержащейся в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление