Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Семейство нормальное в точке.

Семейство называется нормальным в точке, если существует круг, имеющий центр в этой точке, в котором семейство будет нормально.

Семейство нормальное в открытой области есть, очевидно, нормальное во всякой точке этой области. Обратное также верно:

Если семейство нормально во всех точках области то оно нормально в этой области. Достаточно, как мы отмечали, доказать, что оно нормально в каждой замкнутой внутренней области. Пусть такая область, тогда семейство нормально во всех точках включая границу. Я утверждаю, что оно нормально в В самом деле, предположим, что это будет не так и разделим область на несколько замкнутых подобластей помощью системы квадратов со сторонами По крайней мере в одной из этих частных областей семейство будет нормально, ибо, если оно нормально в каждой подобласти, то бесконечная последовательность функций порождает подпоследовательность сходящуюся в первой подобласти. Из этой последовательности нормальной во второй подобласти, извлекаем вторую последовательность сходящуюся равномерно в обеих первых областях. И так далее до последней последовательности сходящейся во всех частных областях, т. е. в что противоречит нашей гипотезе.

Итак, семейство не нормально в области помощью системы квадратов со сторонами содержащихся в первых, получаем новую область содержащуюся в в которой семейство не будет нормально. Затем, пользуясь разбиением на квадраты со сторонами получаем область содержащуюся в в которой семейство не будет нормально, и т. д. Вложенные одна в другую области:

содержащиеся в квадрате, сторона которого стремится к нулю, имеют пределом единственную точку общую всем и принадлежащую В этой точке семейство не может быть нормальным, потому что как бы мал ни был круг с центром в области начиная с некоторого индекса, будут содержаться в нем. Это противоречит нашей гипотезе: значит, семейство в области нормально.

Это доказательство не предполагает аналитичности функций. Оно приложимо ко всякому семейству функций, обладающих свойством, положенным в основу определения нормального семейства.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление