Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Случай открытой области.

Из всякой последовательности функций, принадлежащих семейству, мы выбирали для каждой полностью внутренней области некоторую подпоследовательность, сходящуюся равномерно в Остается показать, что можно найти подпоследовательность одну и ту же для всех которая будет сходиться равномерно во всякой области Используем здесь еще раз диагональный процесс.

Рассмотрим бесконечную последовательность контуров: таких, что содержится полностью внутри все контуры заключены полностью внутри наконец, что все контуры стремятся к контуру ограничивающему область Более, точно: предполагаем, что каждая точка, внутренняя для будет внутренней для области, определенной некоторым контуром и следовательно, и для всех областей, определенных контурами с индексами, большими Эти условия достаточны для того, чтобы всякая данная область заключенная строго внутри была заключена полностью, внутри некоторого контура Итак, достаточно доказать, что можно найти последовательность функций, равномерно сходящуюся в каждой области ограниченной контуром

Из последовательности функций семейства взятой произвольно, я извлекаю сначала последовательность:

которая сходится равномерно в Из этой последовательности я извлекаю вторую последовательность (52), которая сходится равномерно в можно предполагать, что она начинается с эта последовательность будет:

Повторяя рассуждения § 7, получаем последовательность:

содержащуюся в каждой из последовательностей следовательно, равномерно сходящуюся в каждой замкнутой области; Итак, теорема, формулированная в § 10, полностью доказана.

Важное замечание:

Для доказательства не является необходимым предполагать, что функции ограничены во всей области достаточно, чтобы они были ограничены во всякой внутренней области. Будем говорить в этом случае, что они ограничены в своей совокупности внутри верхний предел их модулей может бесконечно возрастать с приближением к границе области Когда последовательность функций сходится равномерно во всякой области внутренней для мы будем говорить, что последовательность сходится равномерно внутри

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление