Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 137. Системы из четырех мероморфных функций, никогда не равных.

Теперь распространим на мероморфные функции результаты, полученные в § 133. Пусть даны четыре функции:

мероморфные в круге и такие, что уравнения:

не имеют ни одного корня в (С); иными словами, детерминант Вандермонда

не обращается в нуль в Мы покажем, что имеет вообще верхний предел, зависящий только от двух перзых коэфициентов функции. В некоторых случаях предел может зависеть от других коэфициентов разложения до определенного номера. Единственный случай, где не имеет верхнего предела и где, следовательно, четыре мерэморфнье функции могут существовать во всей плоскости без того, чтобы две них делались равными, будет тот, когда ангармоническое отношение этих четырех функций будет постоянно. Рассмотрим, в самом деле, функцию

эта функция голоморфна в круге где она не принимает ни значения нуль, ни значения единица. Нужно заметить, что две из функций не могут иметь один и тот же полюс, иначе они были бы равны в этой точке. Итак, имеем в круге (С):

Известно, что радиус не может превзойти предела

в котором буквы имеют то же значение, что в § 133. Имеем:

Легкое вычисление дает:

где

Итак,

положив

Другими словами, можно взять:

Тогда

или вводят обрзначение:

откуда получается теорема: Если даны четыре функции:

то существует число, зависящее только от разностей чисел и от разностей чисел такое, что внутри круга с центром в начале и радиусом, большим этого числа;

либо одна из функций перестает быть мероморфной, либо по крайней мере две из четырех функций будут в некоторой точке равны.

Если функции суть постоянные, отличные от то возвращаемся к классической теореме, соответствующей гипотезе

В случае, когда — нуль, тоже нуль; пусть тогда первый коэфициент, который отличен от нуля: получаем для как в § 133, верхний предел, выражение которого содержит первых коэфициентов каждой функции.

Если все коэфициенты суть нули, то не будет предела для В этом случае есть постоянное. Исключительный случай соответствует системе из четырех мезоморфных функций, ангармоническое отношение которых постоянно.

Легко проверить, что в остальных случаях верхний предел может быть достигнут для определенных систем из четырех функций.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление