Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 120. Функции, имеющие два исключительных значения.

Функции голоморфные в области и имеющие два исключительных значения, образуют нормальное семейство.

Достаточно доказать, что эти функции образуют семейство, нормальное около каждой точки. Всегда можно принять за эту точку начало и считать, что исключительные значения суть нуль и единица.

Рассмотрим бесконечную последовательность функций и выберем подпоследовательность такую, что числа имеют конечную верхнюю границу а; можно предполагать, что эта граница конечна, иначе можно заменить на заметив, что эти две последовательности

одновременно нормальны.

Я утверждаю, что функции ограничены в окрестности начала. В самом деле, пусть разложение функции в окрестности Функции

не принимают никогда значений ни нуля, ни единицы, и мы имеем:

следовательно, для где выбрано надлежащим образом:

Рассмотрим теперь функции переменного в которых имеет фиксированное значение, с модулем, меньшим Имеем:

откуда выводим для

Итак, последовательность нормальна в гиперцилиндре Семейство нормально в каждой точке внутри следовательно, оно нормально в области

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление