Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 119. Функции, имеющие исключительные области.

Рассмотрим теперь семейство функций голоморфных в для которых значения отображенные на сферу Римана, оставляют всегда некоторую область этой сферы непокрытой. Если эта область содержит северный полюс, то функции ограничены и образуют нормальное семейство. В противном случае существует число а такое, что

Я утверждаю, что это семейство нормальное. Действительно, семейства функций:

образовано функциями голоморфными и ограниченными в Пусть бесконечная последовательность функций сходящихся к предельной функции Если тождественный нуль, то а сходятся равномерно к бесконечности. Если нетождественная бесконечность, то эта функция не имеет нуля в области потому что не обращаются в нуль. Функция

голоморфна в области и имеем:

Но в области взятой внутри области имеет минимум а, отличный от нуля; возьмем настолько большим, чтобы

тогда имеем:

Итак, последовательность сходится равномерно в области следовательно, внутри

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление