Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 117. Функции, ограниченные в своей совокупности.

Семейство функций голоморфных и ограниченных в своей совокупности в области есть семейство нормальное. Достаточно показать, что эти функции равностепенно непрерывны в свэей совокупности во всякой области заключенной полностью внутри Обозначим через отличное от нуля расстояние между границами областей и Всякая точка области может быть взята за центр гиперцилиндра:

лежащего полностью внутри Если есть точка внутри гиперцилиндра радиуса то имеем:

где интегралы распространены на круги (у);

и

Из этих неравенств выводим:

или

и, следовательно,

где обозначает верхнюю границу модуля функции. Правая часть меньше если взять

и

Равностепенная непрерывность доказана и семейство нормально. Всякая предельная функция есть функция голоморфная внутри

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление