Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Функции, ограниченные в своей совокупности

Для семейства голоморфных ограниченных функций существует теорема, соответствующая доказанной нами для множеств. Мы говорим, что функции голоморфные в области ограничены в своей совокупности в этой области, если имеем:

где фиксированное число, одно и то же для любой функции и для любого внутри

Пусть дано семейство функций, голоморфных и ограниченных в своей совокупности в некоторой области; изо всякой бесконечной последовательности этого семейства можно выбрать подпоследовательность, которая во всякой области внутри сходится равномерно к предельной функции.

Фиг. 6.

В силу теоремы Вейерщтрасса предельная функция есть функция голоморфная в

Сначала докажем, что для всякой области, внутренней к мы можем определить свою подпоследовательность (это, очевидно, еще не равносильно утверждению теоремы). Предварительно буцет полезно доказать следующее предложение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление