Главная > Математика > Нормальные семейства аналитических функций
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 105. Связь между итерацией и функциональными уравнениями.

Покажем на простом примере, как изучение итерации связано с решением функциональных уравнений. Пусть неподвижная точка притяжения первого порядка для подстановки Мы видели, что можно написать в виде:

где множитель.

Отсюда выводим, что в достаточно малом круге с центром в имеем:

и

где и постоянные. Предположим теперь, что Рассмотрим тогда рациональную дробь:

я утверждаю, что последовательность сходится равномерно к функции голоморфной в Положив можно написать:

и сходимость сводится к сходимости бесконечного произведения

Это произведение сходится или расходится одновременно с рядом, общий член которого есть

Модуль этого общего члена меньше, чем

а этот ряд из сходится, так как

Итак, функции голоморфные в имеют пределом голоморфную функцию Но

и, заставив бесконечно возрастать, получаем:

Итак, функция удовлетворяет уравнению Шредера это есть функция Кёнигса, определенная своим элементам в Так как

то имеем:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление