Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Поле тяжести. Теорема Стокса

Рассмотрим массивное тело, вращающееся с постоянной скоростью со вокруг оси, сохраняющей свою ориентацию в пространстве. Это тело будем называть планетой.

На любое тело, покоящееся на поверхности планеты, действуют сила ньютоновского тяготения и центробежная сила инерции. Их геометрическую сумму будем называть силой тяжести.

Докажем, что сила тяжести имеет потенциал. Поскольку сила тяготения имеет потенциал (ньютоновский), для этого достаточно убедиться в существовании потенциала центробежной силы.

Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в центре инерции планеты и осью 3, направленной по оси вращения. На тело единичной массы, связанное с планетой, действует центробежная сила инерции, компоненты которой по осям этой системы соответственно равны Но эти величины являются частными производными по от выражения

которое поэтому и представит потенциал центробежной силы.

Таким образом, потенциал силы тяжести равен

где ньютоновский потенциал, гравитационная постоянная, - объем планеты, плотность вещества планеты.

Из равенства (18) следует, что потенциал силы тяжести удовлетворяет уравнению Пуассона:

Поверхности а, на которых потенциал силы тяжести имеет постоянное значение будем называтъ уровенными поверхностями потенциала силы тяжести или просто у ровенными поверхностями а. Следует, однако, помнить, что уровенные поверхности ньютоновского потенциала и потенциала силы тяжести не совпадают.

По аналогии с обозначениями, принятыми ранее, через будем обозначать конечную область, для которой поверхность о является границей, а через дополнение этой области до всего пространства Через будем обозначать дифференцирование по направлению внешней нормали к поверхности а, рассматриваемой как граница бесконечной области

Производную потенциала по направлению нормали к уровенной поверхности о

будем называть ускорением силы тяжести. Ускорение силы тяжести является величиной, которая может быть непосредственно и наиболее точно, по сравнению с другими характеристиками поля тяжести, измерена на поверхности Земли.

Пусть а — уровенная поверхность, лежащая целиком вне области, занятой планетой. Применив к потенциалу формулу (43) гл. XIX, с учетом данного выше определения символа , получим:

Из уравнения (69) следует, что

Далее, положив в формуле (43) гл. XIX найдем, что

Внося в формулу (71) полученные выражения, а также выражения (67) и (70), получим:

Формула (73) определяет потенциал ньютоновской силы тяготения вне уровенной поверхности а по распределению ускорения силы тяжести на а. Итак, если знать угловую скорость вращения со планеты, уровенную поверхность а и распределение на ней ускорения силы тяжести, то поле тяготения планеты в области может быть полностью определено. Справедливо, однако, и более сильное утверждение, известное как теорема Стокса: если заданы: а) уровенная поверхность а, охватывающая планету, б) масса планеты, в) угловая скорость вращения планеты, то потенциал силы тяготения вне а и ускорение силы тяжести на а определяются однозначно.

Таким образом, теорема Стокса утверждает, что знание только массы планеты, ее угловой скорости и уровенной поверхности потенциала силы тяжести, позволяет решить основные гравиметрические задачи: определение поля тяготения планеты и распределения поля тяжести на ее поверхности (последнее, конечно, требует знания уровенной поверхности, близкой к поверхности планеты). Знать распределение массы в планете не требуется.

Перейдем к доказательству теоремы Стокса. В силу формулы (74) достаточно показать, что задание уровенной поверхности а, массы планеты и ее угловой скорости со однозначно определяет ускорение силы тяжести на а. Допустим обратное. Пусть два различных распределения ускорения силы тяжести на уровенной поверхности а.

Интегрируя уравнение (69) по объему получим:

С другой стороны, применив формулу Остроградского—Гаусса и приняв во внимание данное выше определение символа убедимся, что

Исключив из найденных соотношений значение объемного интеграла, получим

Положив здесь в одном случае а в другом и взяв разность полученных выражений, найдем, что

С другой стороны, подставив в формулу (73) и вычтя получившиеся соотношения, найдем, что

через здесь обозначены потенциалы силы тяжести на уровенной поверхности а при Интеграл в левой части соотношения (79) представляет потенциал простого слоя. По формулам (38), разность его внешней и внутренней нормальных производных на поверхности а равна

Так как в области потенциал постоянен, то производная а производная сохраняет знак. Первое утверждение очевидно. Второе вытекает из того, что в области потенциал гармоничен, так что постоянное значение, которое он имеет на а, представляет либо максимум либо минимум. Это было бы невозможно, если бы производная меняла знак.

Из сохранения знака вытекает, что и разность сохраняет знак на а, а тогда из соотношения (78) следует, что Тем самым теорема Стокса доказана.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление