Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Потенциалы простого и двойного слоя

Предположим, что на поверхности распределена с поверхностной плотностью некоторая масса (заряд). Потенциал поля, образованного рассматриваемым распределением массы (заряда), с точностью до множителя равен интегралу

получившему название потенциала простого слоя. Плотность называют плотностью простого слоя.

Предположим теперь, что на поверхности распределен слой диполей с осями, направленными вдоль внешних нормалей к поверхности Дипольный момент элемента поверхности положим равным В силу формулы (14), ньютоновский потенциал поля в точке х, образованного диполями на элементе равен — где расстояние между точками

Отсюда ясно, что потенциал поля, образованного рассматриваемым распределением диполей, может быть охарактеризован интегралом

получившим название потенциала двойного слоя. Функцию называют плотностью двойного слоя.

Плотности ниже будем считать непрерывными. Отметим некоторые свойства интегралов (26) и (27). Если точка х не принадлежит слою, то дифференцирование по координатам точки х можно производить под знаком интеграла.

Так как функция у гармонична вне точек слоя (т. е. при то потенциалы простого и двойного слоя всюду вне точек слоя удовлетворяют уравнению Лапласа. Поверхность ниже будем считать замкнутой и ограниченной. В этом случае при интегралы (26) и (27) имеют соответственно тот же порядок малости, что и функции — и обращаясь в бесконечно удаленной точке в нуль (проведение подробных доказательств

предоставляется читателю). Следовательно, потенциалы простого и двойного слоя вне точек слоя всюду гармоничны.

И наоборот, положив в формулах (44) и (45) гл. придем к выводу, что всякая гармоническая функция может быть представлена в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя.

Основную трудность представляет исследование поведения интегралов (26) и (27) в окрестности точек слоя и в самих этих точках. Для достаточно строгого проведения этого исследования необходимо сделать известные предположения относительно свойств поверхностей на которых располагаются рассматриваемые слои, а также о свойствах плотностей

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление