Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными

Рассмотрим квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными

где коэффициенты суть функции от х и у, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно. Будем предполагать, что не обращаются одновременно в нуль.

Уравнению (14) соответствует квадратичная форма

Дифференциальное уравнение (1) принадлежит:

1) гиперболическому типу, если (квадратичная форма (15) знакопеременная);

2) параболическому типу, если (квадратичная форма (15) знакопостоянная);

3) эллиптическому типу, если (квадратичная форма (15) знакоопределенная).

Введем вместо новые независимые переменные Пусть

— дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем якобиан

в области

В новых независимых переменных уравнение (14) запишется так:

где

Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что

Отсюда легко видеть, что преобразование независимых переменных не меняет типа уравнения.

В преобразовании (16) в нашем распоряжении две функции Покажем, что их можно выбрать так, чтобы

выполнялось только одно из условий

Тогда, очевидно, преобразованное уравнение (18) примет наиболее простой вид.

1) . В рассматриваемой области уравнение (14) принадлежит гиперболическому типу. Можно считать, что в точке в окрестности которой мы будем приводить уравнение (14) к каноническому виду, либо либо

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Пусть Так как то уравнение (21) можно записать в виде

Это уравнение распадается на два:

Следовательно, решения каждого из уравнений (21а) и (216) будут решениями уравнения (21).

Для интегрирования уравнений (21а) в (216) составим соответствующие им системы обыкновенных дифференциальных уравнений

или

Заметим, что уравнения (22) можно записать в виде одного уравнения

Коэффициенты дифференциальных уравнений (22) имеют непрерывные частные производные до второго порядка, что следует из предположений о коэффициентах Так как то существуют интегралы

уравнений (22) и их левые части имеют непрерывные частные производные до второго порядка в окрестности точки Левые части интегралов (23) будут соответственно решениями уравнений (21а) и (216).

Кривые (23) называются характеристическими кривыми или просто характеристиками уравнения (14), а уравнение (21) — уравнением характеристик.

Для уравнения гиперболического типа следовательно, интегралы (23) вещественны и различны. При этом мы имеем два различных семейства вещественных характеристик. Положим в преобразовании (16)

где и соответственно суть дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнений (21а) и (216). Эти решения можно выбрать так, чтобы якобиан в некоторой окрестности точки области Действительно, так как то из уравнений (21а) и (216) получим

Отсюда, в силу и уравнений (21а) и (216), следует, что если якобиан в некоторой точке равен нулю, то в этой точке равны нулю обе частные производные первого порядка от или Таким образом, надо строить такие решения уравнений (21а) и (216), у которых обе частные производные первого порядка одновременно не равны нулю.

Функции и удовлетворяют уравнению (21) и, в силу (19), в уравнении Коэффициент всюду в рассматриваемой области, что следует из (17) и (20). Разделив на коэффициент уравнение (18), приведем его к виду

Этот вид уравнения также называется каноническим.

Если уравнение (14) было линейным относительно производных первого порядка и самой функции и, то преобразованное

уравнение также будет линейным:

При уравнение (14) уже имеет вид (24). Положив

приведем уравнение (24) к виду

Это - канонический вид уравнения гиперболического типа.

2) . В рассматриваемой области уравнение (14) принадлежит параболическому типу. Так как мы предполагаем, что коэффициенты уравнения (14) не обращаются одновременно в нуль, то, в силу условия следует, что в каждой точке этой области один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть, например, в точке в окрестности которой мы будем приводить уравнение (14) к каноническому виду. Тогда оба уравнения (21а) и (216) совпадают и обращаются в уравнение

Нетрудно видеть, что всякое решение уравнения (27), в силу условия удовлетворяет также уравнению

Мы можем, как и в предыдущем пункте, найти такое решение уравнения (27), что функция имеет непрерывные частные производные второго порядка и ее первые производные не обращаются в нуль одновременно в некоторой окрестности точки Отметим, что для уравнения параболического типа мы имеем одно семейство вещественных характеристик

Положим в преобразовании (16)

где решение уравнения (27), а за возьмем любую дважды непрерывно дифференцируемую функцию так, чтобы якобиан в окрестности точки Тогда в уравнении что следует из (19), а коэффициент при принимает следующий вид:

Согласно (27) и в окрестности точки Коэффициент С в уравнении (18) преобразуется к виду

откуда так как в противном случае, в силу (27), якобиан Разделив на уравнение (18), приведем его к виду

Это — канонический вид уравнения параболического типа.

3) . В рассматриваемой области уравнение (14) принадлежит эллиптическому типу. Будем считать, что коэффициенты суть аналитические функции от х и у. Тогда коэффициенты уравнений (21а) и (216) — также аналитические функции от и можно утверждать, что уравнение (21) имеет аналитическое решение

в окрестности точки в этой окрестности. Положим в преобразовании (16)

Нетрудно показать, что Разделяя теперь в тождестве

вещественную и мнимую части, получим

Отсюда, в силу (19), следует, что

В силу определенности квадратичной формы

коэффициенты могут обратиться в нуль только в том случае, если

Но решение выбрано так, что равенства (30) не выполняются одновременно. Таким образом, в уравнении и после деления на А оно приводится к виду

Это — канонический вид уравнений эллиптического типа.

Замечание. Может оказаться, что в различных частях области уравнение (14) принадлежит различным типам. Как уже было сказано, точки параболичности уравнения (14) характеризуются равенством

Предположим, что множество точек области которое описывается уравнением (32), является простой гладкой кривой а. Кривая называется линией параболического вырождения. Если кривая а делит область на две части, в одной из которых уравнение (14) принадлежит эллиптическому типу, а в другой — гиперболическому типу, то мы скажем, что в области уравнение (14) смешанного типа. Например:

1) Уравнение Трикоми

— уравнение смешанного типа в любой области содержащей точки оси При оно принадлежит эллиптическому типу, при гиперболическому типу, линия параболичности.

2) Уравнение

— уравнение смешанного типа в любой области содержащей точки оси линия параболичности, которая одновременно является характеристикой огибающая семейства характеристик).

Пример. Рассмотрим уравнение

Это уравнение гиперболического типа, так как

Согласно общей теории, составляем уравнение (22а)

или

Интегрируя эти уравнения, получим

Вводим новые переменные по формулам

Тогда уравнение (33) в новых независимых переменных приводится к виду

Положив — приведем уравнение (34) к каноническому виду:

Уравнение (33) можно проинтегрировать в замкнутом виде, т. е. найти формулу, дающую все решения этого уравнения. Действительно, перепишем уравнение (34) в виде

Тогда

где — произвольная функция Интегрируя полученное уравнение по считая параметром, найдем, что

где произвольная функция по Полагая

получим

или, возвращаясь к старым переменным (х, у)> получим решение уравнения (33) в виде

ЗАДАЧИ.

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление