Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XX. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА

§ 1. Ньютоновский потенциал

Исторически рано развившейся областью математической физики и важной с точки зрения физических приложений является теория потенциала.

По закону Ньютона потенциал поля тяготения в точке х, созданный массой сосредоточенной в точке равен

где гравитационная постоянная, расстояние между точками х и Если масса распределена с плотностью в области У, то потенциал созданного ею поля, очевидно, должен быть определен как объемный интеграл

Выражением подобного же вида, отличающимся лишь постоянным множителем, определяется и кулоновский потенциал поля электрических зарядов, распределенных с плотностью

В обоих случаях потенциал поля с точностью до множителя равен интегралу

который будем называть ньютоновским потенциалом.

Подчеркнем отличия между ньютоновским потенциалом (1), с одной стороны, и потенциалами полей тяготения и электрических зарядов — с другой.

При переходе к полю тяготения перед интегралом (1) должен быть введен отрицательный множитель, учитывающий характер взаимодействия между тяготеющими массами (притяжение). Абсолютная величина этого множителя зависит от выбора единиц измерения и поэтому для нас несущественна. Кроме того, плотность тяготеющих масс в отличие от плотности электрических зарядов, всегда неотрицательна. Поэтому, при рассмотрении поля тяготения мы всегда имеем дело с частным случаем ньютоновского потенциала (1).

При переходе к полю электрических зарядов перед интегралом (1) должен быть введен положительный множитель, так как одноименные электрические заряды отталкиваются. Плотность может быть знакопеременной.

Таким образом, изучая ньютоновский потенциал (1), мы отвлекаемся от конкретного характера взаимодействия (притяжение или отталкивание) —наши выводы не будут зависеть от этого характера. Они всегда будут приложимы к полю электрических зарядов. К полю тяготения они будут приложимы, если соблюдено требование неотрицательности плотности

Перейдем к изучению свойств ньютоновского потенциала.

Если плотность ограниченная функций с непрерывными первыми производными, убывающая на бесконечности не медленнее, чем то можно показать, что ньютоновский потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

и имеет непрерывные первые и вторые производные, причем первые производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла. Мы не будем приводить простое, но несколько утомительное доказательство этих утверждений, которое читатель может найти, например, в курсе В. И. Смирнова.

Ниже мы будем рассматривать ньютоновский потенциал в точках вне области V распределения масс или зарядов, считая область V ограниченной, а плотность непрерывной. Когда где — все пространство, подынтегральная функция в интеграле (1) непрерывна и дифференцируема по координатам точки - неограниченное число раз. Следовательно, когда производные ньютоновского потенциала всех порядков могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.

Так как функция гармонична, когда то ньютоновский потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, когда При подынтегральная функция неограниченно убывает. Поскольку область V ограничена, ньютоновский потенциал при этом стремится к нулю. Следовательно, вне области расположения масс (зарядов) ньютоновский потенциал представляет гармоническую функцию.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление