Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Формулы Остроградского — Гаусса и Грина

Пусть функции, имеющие в области непрерывные первые производные. Представим интеграл по области от производной в виде повторного интеграла:

где область на плоскости осей 2, 3, образованная проекциями точек границы области У, а -совокупность лежащих в области отрезков прямой, проходящей параллельно оси 1 через точку с координатами на а. Линейный интеграл от вдоль какого-либо отрезка совокупности равен разности значений на концах отрезка, соответствующих верхнему и нижнему пределам интегрирования.

Заметим теперь, что поверхность может быть разбита на три части: образованные концами отрезков совокупностей отвечающими соответственно нижним и верхним пределам интегрирования (точки входа в область и выхода из нее прямых, параллельных оси 1) и образованную точками, принадлежащими параллельным оси 1 касательным к и не являющимися концами рассматриваемых отрезков. Обозначим через угол между осью 1 и внешней нормалью к в точке и введем функцию равную 1, если если и 0, если Легко видеть, что

Рассмотрим теперь подынтегральное выражение в интеграле по а. После интегрирования по оно примет вид суммы, каждый член которой вычисляется через значение функции на границе именно равен а общее число

членов равно числу пересечений соответствующей прямой, параллельной оси 1, с границей Таким образом, каждой точке х на оказывается сопоставленной величина совокупность значений которой на и позволяет полностью определить рассматриваемое подынтегральное выражение. Это дает возможность от интегрирования по а перейти к интегрированию по поверхности Для этого заметим, что

где - бесконечно малая окрестность точки на границе (элемент Произведя соответствующую замену и распространив интегрирование на все точки получим

Для сокращения письма аргумент х в подынтегральном выражении опущен. Но интегрирование можно распространить также и на так как там Следовательно,

Заменяя индекс 1 на индексы 2 и 3, получим аналогичные соотношения и для функций Складывая все эти соотношения придем к формуле Остроградского — Гаусса:

При выводе формулы Остроградского-Гаусса мы не принимали во внимание, что на отдельных линиях поверхности нормаль может не существовать. Это является правомерным, так как мера (площадь) множества точек, принадлежащих этим линиям, очевидно, равна нулю, вследствие чего исключение этих точек не отражается на значении предела, к которому стремятся интегральные суммы. При желании, вывод формулы (1) можно провести разбивая область V на такие подобласти, чтобы в каждой из них интегрирование осуществлялось только по гладкой части их границ. Сложив результаты, снова придем к формуле для всей области

Формулу Остроградского — Гаусса мы прежде всего применим для вывода формул Грина, играющих важную роль в математической физике.

Рассмотрим линейное дифференциальное выражение второго порядка

где — некоторые функции точки х. Если функции а также функции

имеют непрерывные первые производные, то дифференциальному выражению можно придать вид

Дифференциальное выражение

в этом случае называется сопряженным дифференциальному выражению Представив выражение в форме

легко видеть, что свойство сопряженности взаимно, т. е. выражение является сопряженным

Если то дифференциальное выражение Ли называется самосопряженным. Чтобы дифференциальное выражение было самосопряженным, необходимо и достаточно соблюдение равенств:

Составим дифференциальное выражение

Если функции, непрерывные вместе со своими первыми и вторыми производными в области У, то, интегрируя это выражение по V и применяя формулу Остроградского-Гаусса,

получим формулу Грана:

Формула Грина справедлива также тогда, когда функции имеют интегрируемые производные второго порядка, непрерывные только внутри области

Важным является частный вид формулы Грина, когда

Это дифференциальное выражение самосопряженное, так что Выражение

в рассматриваемом случае представляет оператор дифференцирования по направлению внешней нормали к вследствие чего формула Грина принимает вид

где через обозначен оператор Лапласа:

Если — плоская область, то справедлива формула:

Она аналогична формуле (6) и ее также называют формулой

Грина. Когда — она принимает вид

где оператор дифференцирования по направлению внешней нормали к границе области

ЗАДАЧА

(см. скан)

Вывести формулу Грина (9) для плоской области.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление