Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Метод Фурье в многомерном случае

Рассмотрим уравнение

где

коэффициенты которого определены в конечной, связной области изменения и удовлетворяют в условиям

Второе из неравенств (53) выражает тот факт, что уравнение (52) принадлежит гиперболическому типу.

Для уравнения (52) рассмотрим следующую смешанную задачу: определить в цилиндре решение уравнения (52), удовлетворяющее начальным условиям

и граничному условию

где есть граница области

Будем искать сначала нетривиальные решения уравнения (52) в виде произведения

удовлетворяющие граничному условию (55). Подставив (56) в уравнение (52), получим

или

откуда

Чтобы получить нетривиальные решения уравнения (52) вида (56), удовлетворяющие граничному условию (55), необходимо, чтобы функция удовлетворяла граничному условию

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти такие значения при которых уравнение (58) имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие граничному условию (59).

Эти значения X называются собственными числами, а соответствующие решения — собственными функциями граничной задачи (58), (59).

Можно доказать, что задача (58), (59) имеет бесконечное множество собственных чисел

Ввиду однородности уравнения (58) и граничного условия (59) собственные функции определяются с точностью до произвольного постоянного. Выберем этот множитель так, чтобы

т. е. будем считать собственные функции нормированными. Собственные функции, соответствующие различным собственным числам, ортогональны:

Это доказывается совершенно так же, как и в однородном случае, причем используется формула интегрирования по частям для

многомерных интегралов. Если собственному числу соответствует несколько линейно независимых собственных функций, то их можно подвергнуть процессу ортогонализации и, следовательно, считать эти функции попарно ортогональными.

Таким образом, мы можем считать, что все собственные функции задачи (58), (59) образуют ортогональную и нормированную систему.

Пусть собственные числа, собственные функции, образующие ортогональную и нормированную систему. Мы имеем

Умножая обе части на интегрируя по области и принимая во внимание (60), получим

или, интегрируя первую сумму по частям, будем иметь

Интеграл по границе области равен нулю, так как В силу условия (53),

откуда следует, что все собственные числа задачи (58), (59) положительны.

При уравнение (57) имеет решение в виде

где произвольные постоянные.

Таким образом, согласно (56), каждая функция

будет решением уравнения (52), удовлетворяющим граничному условию (55). Составим ряд

Удовлетворяя начальным условиям (54), получим

Отсюда легко находим

Подставив найденные значения коэффициентов в ряд (62), мы, очевидно, получим решение задачи (52), (54) и (55), если ряд (62) и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием по равномерно сходятся.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление