Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Малые колебания вращающейся струны

В качестве простого примера приложения полиномов Лежандра рассмотрим задачу о колебании однородной струны длиной закрепленной одним своим концом на неподвижной опоре и могущей свободно вращаться около точки опоры. Если мы пренебрежем силой тяжести и сопротивлением воздуха, то положение равновесия струны будет изображаться прямой линией вращающейся в плоскости, проходящей через точку опоры, с постоянной угловой скоростью Струна может колебаться около этого положения равновесия, если она будет из него выведена. При изучении колебаний мы можем отвлечься от равномерного движения линии равновесия и рассматривать только смещения и струны от линии равновесия. Смещение и является функцией времени и

расстояния от точки опоры х, при этом будем считать, что и перпендикулярно к плоскости вращения струны.

В случае вращающейся струны мы должны найти ускорение точки, представленное суммой двух векторов: одного постоянной длины х и другого (перпендикулярного к переменной длины и. Оба эти вектора вращаются с угловой скоростью

Так как и параллельно оси вращения (перпендикулярно к плоскости вращения), то ускорение этой точки будет вдоль оси и вдоль оси Сила, действующая на элемент длины струны на расстоянии х от неподвижной опоры, равна

где плотность струны.

Натяжение в точке х будет определяться суммой сил, действующих на все элементы струны от точки х до наружного ее конца:

Отсюда нетрудно получить и уравнение свободных колебаний вращающейся струны, а именно:

или

Очевидно, что мы решим поставленную задачу о малых колебаниях вращающейся струны, если найдем решение уравнения (25), удовлетворяющее граничному условию

и начальным условиям

Будем искать частные решения уравнения (25), удовлетворяющие условию (26), в виде

Подставляя в (25), имеем:

Обозначая обе части этого равенства через , получим два уравнения

Полагая преобразуем уравнение (30) к виду

Это есть уравнение Лежандра.

По своему физическому смыслу смещение струны и должно оставаться ограниченным в промежутке Поэтому нужно найти такие решения уравнения (30), которые ограничены в этом промежутке, включая его концы. В начале этой главы было показано, что при где целое положительное число, уравнение Лежандра (31) в промежутке имеет решение, ограниченное в точках Это решение есть полином Лежандра Следовательно, возвращаясь к переменной мы можем утверждать, что

есть решение уравнения (30), ограниченное в точках при

Удовлетворяя граничному условию (26), получим

Это возможно, когда где целое положительное число.

Таким образом, нетривиальные решения уравнения (30) при граничных условиях

возможны лишь при значениях

Этим собственным числам соответствуют собственные функции

которые образуют ортогональную систему функций на отрезке При общее решение уравнения (29) имеет вид

В силу (28), получим, что функции

удовлетворяют уравнению (25) и граничному условию (26) при любых Для решения задачи составляем ряд

и требуем, чтобы выполнялись начальные условия (27):

Предполагая, что ряд (39) сходится равномерно, мы можем определить коэффициенты умножив обе части равенства (39) на и проинтегрировав по а: в интервале от до тогда, принимая во внимание ортогональность собственных функций, получим

Отсюда

Аналогично найдем

Таким образом, решение задачи дается рядом (38), где определяются формулами (41) и (42).

Переписав решение (38) в виде 00

мы видим, что малые колебания вращающейся струны слагаются из гармонических колебаний. Частота колебаний обертона выражается формулой

Отсюда следует, что частоты колебаний зависят от угловой скорости и не зависят от длины струны и ее плотности (до тех пор, пока плотность постоянна). При увеличении длины или плотности увеличивается масса струны, которая стремится понизить частоту; при этом также увеличивается натяжение, что должно вызывать повышение частоты. Эти два фактора компенсируют друг друга.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление