Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XVI. ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА

§ 1. Дифференциальное уравнение Лежандра

Уравнением Лежандра называется уравнение вида

где некоторый параметр; оно имеет особые точки и

Рассмотрим следующую граничную задачу: найти значения параметра при которых в промежутке существует нетривиальное решение уравнения (1), ограниченное в особых точках

Будем искать решение уравнения Лежандра в виде степенного ряда

Подставляя (2) в (1), получим

Отсюда следует, что

или

Коэффициенты остаются произвольными. При получим частное решение уравнения (1), содержащее только четные степени х, при частное решение, содержащее только нечетные степени х.

При уравнение (1) имеет решение в виде многочлена степени , которое ограничено в особых точках Найдем теперь соответствующие решения уравнения

имеющие форму многочленов степени Рассмотрим многочлен степени

Нетрудно видеть, что этот многочлен удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению

Продифференцируем обе части этого уравнения раз по х, тогда получим

Если мы продифференцируем это уравнение еще раз по х, то найдем, что удовлетворяет уравнению (4).

Итак, уравнение (4) имеет решение

где с — постоянная. Полагая

получим

Это и есть полиномы Лежандра, которые являются решениями уравнения (1) при формула (5) называется формулой Родрига.

Рис. 24

Таким образом, полиномы Лежандра являются собственными функциями рассматриваемой задачи, соответствующими собственным числам

Вычисляя по формуле (5), получим:

Графики полиномов Лежандра первых шести порядков изображены на рис. 24

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление