Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Радиальные колебания газа в неограниченной цилиндрической трубке

Предположим, что имеется неподвижная трубка, настолько длинная, что ее можно считать простирающейся в обе стороны до бесконечности; обозначим радиус поперечного сечения такой трубки через

Допустим, что эта трубка заполнена газом, который совершает малые колебания около своего положения равновесия. Поставим себе задачей исследовать эти малые колебания, причем ограничимся радиальными колебаниями, при которых потенциал скоростей и зависит только от расстояния колеблющейся частицы газа до оси цилиндра и от времени В этом случае волновое уравнение

написанное в цилиндрических координатах примет более простой вид:

Очевидно, что мы решим поставленную задачу о малых колебаниях газа, если найдем такое решение уравнения (33), которое удовлетворяет начальным условиям

и граничному условию

Согласно методу Фурье, частные решения уравнения (33) ищем в виде

Подставив в (33), получим

и, следовательно,

Чтобы функция (36), отличная от тождественного нуля удовлетворяла граничному условию (35), очевидно, нужно

потребовать выполнения условия

Общее решение уравнения (38) имеет вид (см. гл. XIII, § 1)

где произвольные постоянные.

Второе решение уравнения Бесселя обращается в бесконечность при Так как по самому смыслу задачи искомое решение должно оставаться ограниченным во всех точках цилиндра, в том числе и на оси его, т. е. при то в формуле (40) следует положить Не ограничивая общности, можно считать т. е. положить

и тогда граничное условие (39) дает

или, пользуясь равенством уравнение (41) можно заменить следующим:

Это уравнение определяет собственные числа уравнения (38) при граничном условии (39) и В гл. XIII было показано, что уравнение

имеет бесчисленное множество положительных корней: Отсюда следует, что собственные числа задачи определяются по формуле

Каждому собственному числу XI соответствует собственная функция

Отметим, что также является собственным числом задачи (38), (39), которому соответствует собственная функция При общее решение уравнения (37) имеет вид

где — произвольные постоянные.

При имеем

В силу (36) получим, что функции

удовлетворяют уравнению (33) и граничному условию (35) при любых Далее, решение задачи ищем в виде

Для выполнения начальных условий (34) необходимо, чтобы

Написанные ряды представляют собой разложение заданных функций и по функциям Бесселя в интервале где положительные корни уравнения (43). Но такого рода разложения нами изучались в конце гл. XIII, причем здесь мы имеем тот случай, когда Применив к рассматриваемому случаю формулы (45), (46) и (50) гл. XIII, найдем значение коэффициентов а именно:

Таким образом, все постоянные, входящие в решение (46), найдены.

Принимая теперь во внимание, что и есть потенциал скоростей, можем отбросить слагаемое так как от этого картина распределения скоростей в колеблющемся газе не изменится. Внося затем вместо коэффициентов новые постоянные и посредством равенств

перепишем ряд (46) в виде

откуда ясно, что радиальные колебания газа носят гармонический характер, причем период основного тона определяется формулой

где наименьший корень уравнения (43).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление