Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Вынужденные колебания подвешенной нити

Предположим теперь, что на подвешенную нить действует непрерывно распределенная горизонтальная сила рассчитанная на единицу длины. Тогда уравнение вынужденных колебаний примет вид

где

К этому уравнению нужно присоединить граничное и начальные условия

Применим к интегрированию этой задачи способ, изложенный в § 1 гл. XI, другими словами, будем разыскивать решение задачи (18) — (20) в виде суммы

где — решение неоднородного уравнения (18), удовлетворяющее граничному условию (19) и нулевым начальным условиям

а функция решение однородного уравнения

удовлетворяющее граничному условию (19) и начальным условиям (20). Задача (23), (19), (20) рассматривалась в § 1 и ее решение было получено в виде ряда (12).

Будем искать решение их в виде ряда

так что граничное условие (19) удовлетворяется само собой Подставляя ряд (24) в уравнение (18) и принимая во внимание

равенство

являющееся следствием соотношений (7) и (10), получим

где положено

Разложим теперь функцию в ряд по собственным функциям положим

Это разложение по виду совпадает с разложением (13) и, следовательно, коэффициенты определяются по формуле (14):

Сравнивая разложения (25) и (27) для одной и той же функции получаем уравнение

которому должны удовлетворять коэффициенты При таком определении коэффициентов функция (24) удовлетворяет дифференциальному уравнению (18) и граничному условию (19). Для удовлетворения же начальных условий (22) достаточно подчинить функции условиям

Решение уравнения (29), удовлетворяющее начальным условиям (30), дается формулой

Подставив сюда выражение (28) для получим

Из сказанного вытекает, что отклонение подвешенной нити от вертикального положения равновесия выражается формулой

где коэффициент определяются равенствами (31), (14) и (15), - положительные корни уравнения

Остановимся более подробно на том случае, когда внешняя сила действует гармонически, т. е.

В этом случае коэффициенты определяются по формуле

Возьмем теперь формулу

легко выводимую из разложений функций в степенные ряды. С помощью этой формулы найдем, что

а так как

то

Допустим, что начальные отклонения и начальные скорости в данном случае отсутствуют и нить колеблется только вследствие действия возмущающей силы; тогда из формулы (32) и (33) вытекает, что отклонение нити от вертикального положения

равновесия будет выражаться формулой

Первый член правой части формулы (34) может быть упрощен. Будем искать решение уравнения

удовлетворяющее условиям

в виде произведения

Подставив (37) в уравнение (35), получим

Его общее решение имеет вид

В силу граничных условий (36),

Из полученных результатов следует, что решение (34) можно представить в виде

В заключение заметим, что когда частота внешней возмущающей силы со приближается к одной из частот собственных колебаний нити, то будет наблюдаться явление резонанса.

Заметим еще, что из сравнения формул (34) и (40) вытекает следующее разложение функции на рациональные дроби:

где суммирование распространяется по всем положительным корням уравнения

ЗАДАЧА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление