Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Функции Бесселя мнимого аргумента

Во многих задачах математической физики встречается уравнение

Нетрудно проверить, что это уравнение получается из уравнения Бесселя после замены в последнем х на Следовательно, функция есть частное решение уравнения (65). Так как

уравнение (65) однородно, то произведение на произвольную постоянную есть также решение данного уравнения. Выберем эту постоянную равной и введем обозначение

При указанном выборе постоянной рассматриваемое нами частное решение уравнения (65) будет выражаться рядом

Функция также является решением уравнения (65), и если не целое число, то суть два линейно-независимых решения уравнения (65). Если целое число, то функции линейно-зависимы, так как

что непосредственно вытекает из формул (66) и (16).

Для получения общего решения уравнения (65) надо найти другое, линейно-независимое от частное решение.

Это частное решение, носящее название функции Макдональда, берется в виде

При целом правая часть равенства (69) принимает неопределенный вид, что легко следует из соотношения (68). Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим следующее выражение для функции при целом

В частности,

Отметим, что при

Так как суть два линейно-независимых решения уравнения (65) при любом значении то его общее решение

можно написать в таком виде:

где — произвольные постоянные.

В заключение заметим, что растет неограниченно при а функция стремится к нулю при как это видно из асимптотических представлений этих функций, приводимых здесь без доказательства:

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление