§ 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя
Пусть произвольная функция
представима в виде ряда
где
положительные корни уравнения
расположенные в порядке возрастания.
Для определения коэффициентов
умножим обе части разложения (42) на
и проинтегрируем по отрезку
считая при этом возможным почленное интегрирование. Тогда, приняв во внимание формулу (39), найдем, что
Разложение (42), в котором коэффициенты
определяются по формуле (43), называется разложением функции
в ряд Фурье —
Бесселя.
В задачах математической физики часто встречаются следующие ряды по функциям Бесселя:
где
положительные корни уравнения
расположенные в порядке возрастания, причем
Коэффициенты
в силу ортогональности функций Бесселя и формулы (41) определяются по формуле
Разложение (44), в котором коэффициенты
определяются по формуле (45), называется разложением функции
ряд Дини — Бесселя.
Если
то, как будет показано ниже [см. формулу (49)], ортогональна к функциям
с весом х на отрезке
а поэтому разложение (44) должно быть заменено следующим:
В этом случае уравнение (40) можно записать в следующем виде:
или, в силу формулы (22)
будем иметь
т. е.
будут корнями уравнения (47).
Для определения коэффициента
умножим обе части разложения (46) на
и проинтегрируем по
от 0 до
считая при этом возможным почленное интегрирование. Тогда получим
Ранее мы имели формулу
или
Интегрируя это тождество, получим
Полагая здесь
где
— корень уравнения (47), будем иметь
тогда из формулы (48), в силу (49), вытекает, что
Коэффициенты
определяются по прежним формулам (45), что непосредственно следует из равенства (49).