§ 4. Разложение произвольной функции в ряд по функциям Бесселя

Пусть произвольная функция представима в виде ряда

где положительные корни уравнения расположенные в порядке возрастания.

Для определения коэффициентов умножим обе части разложения (42) на и проинтегрируем по отрезку считая при этом возможным почленное интегрирование. Тогда, приняв во внимание формулу (39), найдем, что

Разложение (42), в котором коэффициенты определяются по формуле (43), называется разложением функции в ряд Фурье —

Бесселя.

В задачах математической физики часто встречаются следующие ряды по функциям Бесселя:

где положительные корни уравнения

расположенные в порядке возрастания, причем

Коэффициенты в силу ортогональности функций Бесселя и формулы (41) определяются по формуле

Разложение (44), в котором коэффициенты определяются по формуле (45), называется разложением функции ряд Дини — Бесселя.

Если то, как будет показано ниже [см. формулу (49)], ортогональна к функциям с весом х на отрезке

а поэтому разложение (44) должно быть заменено следующим:

В этом случае уравнение (40) можно записать в следующем виде:

или, в силу формулы (22)

будем иметь

т. е. будут корнями уравнения (47).

Для определения коэффициента умножим обе части разложения (46) на и проинтегрируем по от 0 до считая при этом возможным почленное интегрирование. Тогда получим

Ранее мы имели формулу

или

Интегрируя это тождество, получим

Полагая здесь где — корень уравнения (47), будем иметь

тогда из формулы (48), в силу (49), вытекает, что

Коэффициенты определяются по прежним формулам (45), что непосредственно следует из равенства (49).