Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

§ 1. Уравнение Бесселя

При решении многих задач математической физики приходят к линейному дифференциальному уравнению

где постоянная. Это уравнение встречается также во многих вопросах физики механики, астрономии и т. п. Уравнение (1) называется уравнением Бесселя. Так как уравнение (1) имеет особую точку то его частное решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда:

Подставляя ряд (2) в уравнение (1), получим

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х, будем иметь:

Из первого равенства находим два значения для

Если мы возьмем первый корень то из формул (5) и (6) получим

Отсюда следует, что

а коэффициенты с четными индексами определяются, очевидно, по формулам

из которых ясно, что общее выражение для коэффициентов имеет такой вид:

Что касается коэффициента который был до сих пор совершенно произвольным, то выберем его таким образом:

где гамма-функция, которая определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:

При таком выборе коэффициент может быть записан в виде

Это выражение может быть упрощено, если воспользоваться одним из основных свойств гамма-функции. Для этого проинтегрируем правую часть равенства (8) по частям; тогда получим следующую основную формулу:

Отметим, что формула (10) дает возможность определить гамма-функцию для отрицательных значений а также и для всех комплексных значений.

Пусть некоторое целое положительное число. Применяя несколько раз формулу (10), получим

Полагая в этой формуле найдем, в силу равенства

другое важное свойство гамма-функции, выражаемое равенством

С помощью формулы (11) выражение (9) для коэффициента примет следующий вид:

Внося найденные значения коэффициентов в ряд (2), получим частное решение уравнения (1). Это решение носит

название функции Бесселя 1-го рода порядка и обозначается обычно через Таким образом,

Ряд (14) сходится при любом значении х, в чем нетрудно убедиться, применяя признак Даламбера.

Используя второй корень можно построить второе частное решение уравнения (1). Оно может быть получено, очевидно, из решения (14) простой заменой на так как уравнение (1) содержит только и не меняется при замене на

Если не равно целому числу, то частные решения уравнения Бесселя (1) будут линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях формул (14) и (15), начинаются с разных степеней х. Если же есть целое положительное число то в этом случае легко обнаружить линейную зависимость решений Действительно, при целом для величина принимает целые отрицательные значения или нуль. Для этих значений что следует из формулы

Таким образом, первые членов в разложении (15) обратятся в нуль и мы получим

или, положив получим

т. е.

Отсюда следует, что при целом функции линейно зависимы.

Для того чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу необходимо найти второе, линейно-независимое

от частное решение. Для этого введем новую функцию положив

Очевидно, что эта функция также является решением уравнения (1), так как она представляет собою линейную комбинацию частных решений этого уравнения. Затем нетрудно убедиться, на основании соотношения (16), что при равном целому числу правая часть равенства (17) принимает неопределенный вид Если раскрыть эту неопределенность по правилу

Лопиталя, то в результате ряда выкладок (которые ввиду их сложности здесь не воспроизводятся) получим следующее представление функции при целом положительном

В частном случае, при функция представляется таким образом:

Введенная здесь функция называется функцией Бесселя 2-го рода порядка или функцией Вебера.

Функция Вебера является решением уравнения Бесселя также и в том случае, когда целое число.

Функции очевидно, линейно независимы, следовательно, эти функции при всяком -дробном или целом — образуют фундаментальную систему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

где - произвольные постоянные.

В заключение этого параграфа заметим, что для функций Бесселя и Вебера различных порядков имеют место следующие рекуррентные формулы:

Формулы (21), (22) проверяются непосредственным дифференцированием рядов для функции Бесселя. Докажем, например, справедливость формулы (21). Имеем

или, принимая во внимание, что получим

Сравнив с разложением (14), будем иметь

Продифференцировав произведение, мы убедимся в справедливости формулы (21). Справедливость формулы (22) доказывается аналогично.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление