Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Колебания стержня с одним прикрепленным диском

Займемся исследованием крутильных колебаний однородного стержня в том случае, когда один из его концов закреплен, а к другому концу прикреплен массивный диск с моментом инерции относительно оси стержня. Приравнивая момент силы инерции диска закручивающему моменту в сечении получим следующее граничное условие на конце

Задача, таким образом, сводится к решению уравнения (5) при граничных условиях

и начальных условиях

Согласно методу Фурье, частные решения уравнения (5) будем искать в виде

тогда получим уравнения

Чтобы функция (8), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничным условиям (6), очевидно, нужно потребовать выполнения условий:

Таким образом, мы приходим к задаче о собственных числах для уравнения (10) при граничных условиях (11). Интегрируя уравнение (10), получим

Из граничных условий (11) находим

Полагая получим трансцендентное уравнение

определяющее собственные числа задачи (10), (11). Исследуем уравнение (12). Если положить

то уравнение (12) примет следующий вид:

Для нахождения вещественных корней этого уравнения достаточно построить графики функций

и затем определить абсциссы точек пересечения этих кривых (рис. 19). Из чертежа видно, что корень уравнения (14) с увеличением индекса неограниченно возрастает по абсолютной величине, причем разность стремится к нулю. Отсюда следует, что при достаточно большом можно положить

Если по условиям задачи число имеет малую величину, то приближенное равенство (15) будет давать достаточно точный результат и при небольших значениях Если же величина не очень мала, то для вычисления корней

можно прибегнуть к методу итераций.

Уравнение (14) не может иметь чисто мнимых корней. Допустим обратное, положим причем вещественное число. Тогда будем иметь

или

что невозможно, ибо слева оба слагаемых неотрицательны при любом вещественном

В дальнейшем мы покажем, что уравнение (14) не может иметь также комплексных корней.

Таким образом, уравнение (14) имеет только вещественные корни, причем они попарно одинаковы по абсолютной величине и обратны по знаку, так что достаточно рассматривать только положительные корни.

Рис. 19

Обозначим через положительные корни уравнения (14). Тогда, согласно (13), собственные числа будут

Каждому собственному числу соответствует собственная функция

Нетрудно показать, что собственные функции (17) не ортогональны на промежутке (

При общее решение уравнения (9) имеет вид

где — произвольные постоянные. В силу (8), получим, что функция

удовлетворяет уравнению (5) и граничным условиям (6) при любых Далее составим ряд

Для выполнения начальных условий (7) необходимо, чтобы

Эти формулы показывают, что для нахождения коэффициентов необходимо разложить функции и в ряд Фурье по собственным функциям (17). Относительно этих функций было указано, что они не ортогональны в промежутке но нетрудно показать, что функции

образуют в промежутке ортогональную систему функций. В самом деле, из легко доказываемого равенства

видно, что если суть корни уравнения (14), то

Допустим далее, что ряды (19) и (20) можно почленно дифференцировать по я; тогда приняв во внимание формулы (22), легко найдем значения коэффициентов а именно:

Подставив эти значения коэффициентов в ряд (18), получим решение задачи о крутильных колебаниях однородного стержня. Мы утверждали выше, что уравнение (14)

не может иметь комплексных корней. Предположим обратное. Пусть уравнение (14) имеет комплексный корень Так как вещественное число, то уравнение (14) будет иметь и сопряженный корень Этим корням будут соответствовать две собственные функции

Из условия ортогональности (30) имеем

или

и мы приходим к противоречию.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление