Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Единственность решения смешанной задачи

Рассмотрим следующую смешанную задачу. Найти непрерывную в прямоугольнике функцию и удовлетворяющую внутри уравнению

где

начальным условиям

и граничным условиям

Докажем единственность решения смешанной задачи (67) — (69), предполагая, что решение имеет непрерывные производные до второго порядка включительно в

Пусть два решения рассматриваемой задачи. Тогда разность

будет удовлетворять однородному уравнению

нулевым начальным условиям

и однородным граничным условиям

Докажем, что Рассмотрим интеграл энергии

и покажем, что он не зависит от Действительно, дифференцируя по получим

Дифференцирование под знаком интеграла возможно в силу непрерывности вторых производных. Интегрируя по частям средний член в правой части (74), будем иметь

Отсюда, в силу уравнения (70) и граничных условий (72), следует, что

Учитывая начальные условия (71), получим

Тогда из (73) и начальных условий (71) следует, что что и требовалось доказать.

Замечание. Единственность решения смешанной задачи для уравнения (67) имеет место и в том случае, если граничные условия (69) заменить более сложными:

где постоянные .

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление