Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Вынужденные колебания струны с подвижными концами

Рассмотрим вынужденные колебания ограниченной струны под действием внешней силы рассчитанной на единицу длины, причем концы ее не закреплены, а двигаются по заданному закону. Эта задача приводится к решению уравнения

при граничных условиях

и начальных условиях

К решению этой задачи нельзя применить метод Фурье, так как граничные условия (45) неоднородны. Но эта задача легко сводится к задаче с нулевыми граничными условиями. Действительно, введем вспомогательную функцию

Ясно, что

Решение задачи ищем в виде суммы

где v - новая неизвестная функция.

В силу граничных условий (45), (48) и начальных условий (46), функция должна удовлетворять граничным условиям

и начальным условиям

Подставив теперь (49) в уравнение (44), получим

или, в силу (47),

где

Таким образом, мы пришли к следующей задаче для функции

Метод решения этой задачи изложен в § 1 этой главы.

В качестве примера рассмотрим поперечные колебания струны длиной I, закрепленной на конце и подверженной на конце действию возмущающей силы, вызывающей смещение этого конца, равное При этом будем предполагать, что в момент времени начальные смещения и начальные скорости равны нулю.

Нетрудно видеть, что эта задача сводится к решению однородного уравнения

при граничных условиях

и начальных условиях

Будем искать решение задачи в виде суммы

где -решение однородного уравнения (54), удовлетворяющее только граничным условиям (55), решение того же уравнения, удовлетворяющее граничным условиям

и начальным условиям

Решение ищем в виде

Подставив (60) в уравнение (54), получим

Чтобы получить решение вида (60), удовлетворяющее граничным условиям (55), необходимо найти решение уравнения (61), удовлетворяющее граничным условиям

Общее решение уравнения (61) имеет вид

Удовлетворяя граничным условиям (62), получим

и, следовательно,

Отсюда, в силу (60), получим

Обратимся теперь к нахождению решения Из формул (59) легко найдем, что

Но решение однородного уравнения (54), удовлетворяющее граничным условиям (58) и начальным условиям (64), дается, как мы знаем, рядом

где

таким образом,

Беря сумму выражений (63) и (65), получим решение задачи:

причем считаем, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление