Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Вынужденные колебания тяжелого стержня

Допустим, что мы имеем дело с довольно тяжелым и в то же время легко растяжимым стержнем, длина которого в нерастянутом состоянии Подвесим его за конец а конец оставим свободным; под влиянием силы тяжести такой стержень начнет совершать продольные колебания. Если обозначить через и смещение сечения с абсциссой х в момент времени то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний рассматриваемого стержня будет иметь вид

где - ускорение силы тяжести.

Так как начальные смещения и начальные скорости равны нулю, то по физическому смыслу поставленной задачи нам нужно найти такое решение уравнения (34), которое удовлетворяло бы граничным условиям

и начальным условиям

Будем искать решение этой задачи в виде суммы

где есть решение неоднородного уравнения (34), удовлетворяющее только граничным условиям (35), решение однородного уравнения

удовлетворяющее граничным условиям

и начальным условиям

Найти решение не представляет никаких затруднений. Действительно, если мы возьмем многочлен второй степени относительно х:

и выберем его коэффициенты следующим образом:

то очевидно, что тогда удовлетворяются как уравнение (34), так и граничные условия (35). Следовательно, решение найдено, а именно

Отсюда вытекает, что

Задачу (38), (39), (40) мы уже рассматривали в гл. X § 4, и ее решение дается формулами (32) и (35); с помощью этих формул мы найдем, что

Из всего изложенного следует, что решение задачи (34), (35), (36) выражается в виде

С помощью этой формулы легко вычислить, например, в каких пределах будет изменяться длина всего стержня. В самом деле, положив в формуле получим относительное перемещение концевого сечения стержня

Правая часть этого равенства достигает своего наибольшего значения при откуда

Приняв во внимание, что

найдем наибольшее смещение концевого сечения

Отсюда вытекает, что при рассматриваемых продольных колебаниях длина стержня меняется в пределах от до

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление