Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Общая схема метода Фурье

В настоящем параграфе мы дадим изложение метода Фурье для решения смешанной граничной задачи без строгого обоснования полученных результатов.

Рассмотрим гиперболическое уравнение

где непрерывные функции при причем

Пусть требуется найти решение уравнения (36), удовлетворяющее однородным граничным условиям

где и — постоянные, причем и начальным условиям

Будем сначала искать нетривиальные решения уравнения (36) в виде произведения

удовлетворяющие только граничным условиям (37). Подставляя (39) в уравнение (36), получим

или

Левая часть последнего равенства зависит только от х, а правая часть — только от и равенство возможно лишь тогда, когда общая величина отношений (40) будет постоянной. Обозначим эту постоянную через — Тогда из равенства (40) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Чтобы получить нетривиальные решения уравнения (36) вида (39), удовлетворяющие граничным условиям (37), необходимо, чтобы функция удовлетворяла граничным условиям

Таким образом, приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля о собственных числах: найти такие значения параметра при которых существуют нетривиальные решения уравнения (42), удовлетворяющие граничным условиям (43).

Эта задача не при всяком имеет отличное от тождественного нуля (нетривиальное) решение. Те значения параметра К, при

которых задача (42) — (43) имеет нетривиальное решение, называются собственными числами, а сами эти решения — собственными функциями, соответствующими данному собственному числу. В силу однородности уравнения (42) и граничных условий (43), собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы

Собственные функции, удовлетворяющие условию (44), будем называть нормированными.

Установим некоторые общие свойства собственных функций и собственных чисел задачи Штурма — Лиувилля.

1) Всякому собственному числу соответствует только одна линейно независимая собственная функция.

Действительно, предположим, что при некотором значении X существует два линейно независимых решения уравнения (42), удовлетворяющих граничным условиям (43). Тогда оказалось бы, что и общее решение уравнения (42) удовлетворяет этим условиям. Но этого быть не может, так как всегда можно найти решение уравнения (42) при таких начальных данных и например которые не удовлетворяют первому из граничных условий (43).

2) Собственные функции, соответствующие различным собственным числам, ортогональны с весом т. е.

Пусть и два различных собственных числа, а соответствующие им собственные функции, так что

Умножим первое равенство на второе — на и вычтем одно из другого почленно, получим равенство

которое можно переписать в виде

Интегрируя это равенство по в пределах от до , получим

Приняв во внимание граничные условия (43), легко убеждаемся, что правая часть равна нулю, т. е.

откуда в силу

что и требовалось доказать.

3) Все собственные числа вещественны.

В самом деле, допустим, что существует комплексное собственное число X, которому соответствует собственная функция Тогда комплексно сопряженное с ним число также будет собственным, а функция комплексно сопряженная с собственной функцией, так как коэффициенты уравнения (42) и граничных условий (43) вещественны. Из условия ортогональности

следует, что т. е. комплексное число X не является собственным.

4) Существует бесконечное множество вещественных собственных чисел (см. гл. XXIX), § 4)

Пусть теперь собственные числа, собственные функции, образующие ортогональную и нормированную систему. Имеем

Умножая обе части на интегрируя и принимая во внимание (44), получим

откуда, интегрируя первое слагаемое по частям, придем к следующей формуле:

Допустим, что кроме того,

Тогда из формулы (46) непосредственно следует, что все собственные числа задачи (42), (43) неотрицательны.

Условие (46а) выполняется как раз при наиболее часто встречающихся в приложениях граничных условиях:

В заключение отметим, что собственные функции граничной задачи (42), (43а) или (42), (436) (если образуют полную систему

Обратимся теперь к уравнению (41). Его общее решение при которое обозначим имеет вид

где произвольные постоянные. Каждая функция

будет решением уравнения (36), удовлетворяющим граничным условиям (37).

Чтобы удовлетворить начальным условиям (38), составим ряд

Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из него двукратным почленным дифференцированием по х и то сумма его, очевидно, будет решением уравнения (36), удовлетворяющим граничным условиям (37). Для выполнения

начальных условий (38) необходимо, чтобы

Таким образом, мы пришли к задаче о разложении произвольной функции в ряд по собственным функциям граничной задачи (42), (43).

Предполагая, что (48) и (49) сходятся равномерно, можем определить коэффициенты умножив обе части равенств (48) и (49) на и проинтегрировав по х в пределах от 0 до Тогда, принимая во внимание (44) и (45), получим

Подставив эти значения коэффициентов в ряд (47), мы, очевидно, получим решение смешанной задачи (36) — (38), если ряд (47) и ряды, полученные из него двухкратным почленным дифференцированием по равномерно сходятся.

Замечание. Метод Фурье применим и в случае многих пространственных переменных для гиперболических уравнений специального вида (см. гл. XVI), а также для уравнений эллиптического и параболического типов (см. части II и III).

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление