Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Продольные колебания стержня

Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня длины когда один его онец закреплен, а другой свободен. В гл. V было показано, что эта задача сводится к решению волнового уравнения

при граничных условиях

и начальных условиях

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (25) в виде

Подставив (28) в уравнение (25), получим

откуда получаем два уравнения

Чтобы функция (28), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничным условиям (26), очевидно, нужно потребовать выполнения условий

Таким образом, мы пришли к задаче о собственных числах для уравнения (29) при граничных условиях (31). Интегрируя уравнение (29), получим

Из граничных условий (31) имеем

Считая (в противном случае имели бы находим откуда ( целое число).

Таким образом, нетривиальные решения задачи (29), (31) возможны лишь при значениях

Собственным числам соответствуют собственные функции

определенные с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице (отрицательные целые значения новых собственных функций не дадут).

При общее решение уравнения (30) имеет вид

где произвольные постоянные. В силу (28), найдем, что функции

удовлетворяют уравнению (25) и граничным условиям (26) при любых Составим ряд

Для выполнения начальных условий (27) необходимо, чтобы

Предполагая что ряды (33) и (34) сходятся равномерно, можно определить коэффициенты умножив обе части равенств (33) и (34) на и проинтегрировав по в пределах от до Тогда, приняв во внимание, что

получим

Подставив найденные значения коэффициентов в ряд (32), мы, очевидно, получим решение нашей задачи, если ряд (32) и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием по равномерно сходятся.

Рассматривая решение (32), видим, что колебательное движение стержня является результатом сложения простых гармонических колебаний

где

совершающихся с амплитудами и с частотами

Основной тон, получающийся при имеет период колебания

Так как амплитуда основного тона равна

то, очевидно, что в закрепленном конце стержня имеем узел, а в свободном конце пучность.

С помощью метода Фурье легко можно исследовать задачу о продольных колебаниях стержня, которая была рассмотрена в § 2 гл. V. Напомним, что поставленная там задача привелась к решению уравнения (25) при граничных условиях (26) и начальных условиях

где постоянная.

Применяя формулы (35) найдем, что

откуда вытекает, что относительное перемещение сечения стержня с абсциссой х выражается рядом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление