Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Бихарактеристики

В § 1 мы отметили, что любая характеристическая поверхность уравнения (1) может быть включена в семейство характеристических поверхностей Поэтому без ограничения общности можно предполагать, что такое включение уже произведено. Тогда функция удовлетворяет уравнению (7), которое надо понимать как дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Напишем соответствующую этому уравнению характеристическую систему (см гл. III, § 3), Уравнение (7) не содержит явно неизвестную функцию и поэтому в соответствующей характеристической системе мы не будем выписывать того отношения, которое содержит Таким образом, мы получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

некоторый вспомогательный параметр. Любое решение системы (12) должно удовлетворять дополнительному условию (см гл. III, § 3). Нетрудно видеть, что равенство есть первый интеграл системы (11).

Действительно,

а последняя сумма равна тождественно нулю, в силу (7).

Интегральные кривые системы (11), в которой положено называются бихарактеристиками дифференциального уравнения второго порядка (1), соответствующими семейству характеристических поверхностей.

Если при интегрировании системы за начальные значения взять точку, лежащую на некоторой характеристической поверхности то вся соответствующая бихарактеристика будет лежать на этой поверхности, т. е. всякая характеристическая поверхность уравнения (1) может быть образована бихарактеристиками.

Если коэффициенты дифференциального уравнения (1) постоянны, то все бихарактеристики суть прямые линии. Действительно, из уравнений (12) непосредственно видно, что суть постоянные, а тогда из уравнений (11) следует, что суть многочлены первой степени от

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление