Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Точечный источник

Если мы положим, что свободный член в уравнении (10) отличен от нуля только в небольшой сфере с центром в начале координат, то при стремлении радиуса этой сферы к нулю и при беспредельном возрастании интенсивности внешней силы мы в пределе можем получить решение волнового уравнения при наличии точечного источника, который начинает действовать с момента и закон воздействия которого может быть любым в зависимости от времени. Положим, что

и

где шар с центром в начале координат радиуса

Обратимся к формуле (29) и будем считать В силу (35) достаточно произвести интегрирование по шару При величина будет равна расстоянию от точки до начала координат, т. е. и мы получим, учитывая (36),

При ясно, что и(х, так как при область интегрирования в интеграле (29) не содержит внутри себя шара при достаточно малых Отметим, что функция (37) при любом выборе функции удовлетворяет однородному волновому уравнению (1) и представляет собой сферическую волну, расходящуюся радиально со скоростью а от начала координат.

В случае уравнения (30) мы должны совершенно так же, как и выше, считать

где круг с центром в начале радиуса Обращаясь к формуле (32) и переходя к пределу при получим решение для точечного источника на плоскости:

Отметим, что воздействие точечного источника на точку в момент времени согласно формуле (37) зависит только от отдельного импульса, возникшего в начале координат в момент времени и пришедшего в точку со скоростью а. В случае же формулы (38) это воздействие определяется действием точечного источника за промежуток времени от нуля до

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление