Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Теорема единственности

Докажем единственность решения волнового уравнения при заданных начальных условиях. Для простоты записи будем считать , чего можно достигнуть, заменяя в волновом уравнении на Для большей наглядности рассмотрим случай трех независимых переменных, т. е. волновое уравнение

с начальными условиями

Докажем единственность решения задачи Коши (16)-(17), предполагая, что решение имеет непрерывные производные до второго порядка включительно.

Пусть суть два решения уравнения (16), удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям (17). Тогда разность

будет удовлетворять волновому уравнению (16) и нулевым начальным условиям

Теорема единственности будет доказана, если мы докажем, что при любых и при любом

Рассмотрим трехмерное пространство и возьмем в нем произвольную точку причем Из этой точки, как вершины, проведем конус

до его пересечения с плоскостью Проведем еще плоскость где и пусть область, ограниченная боковой поверхностью конуса и частями плоскостей находящихся внутри конуса усеченный круговой конус). Обозначим через и соответственно нижнее и верхнее основания усеченного конуса.

Нетрудно проверить следующее тождество:

Проинтегрируем это тождество по области Интеграл от левой части равен нулю, так как и является решением уравнения (16). Интеграл в правой части преобразуем в интеграл по поверхности области пользуясь формулой Остроградского. Тогда получим

На нижнем основании усеченного конуса в силу начальных условий (18), функция и все ее частные производные первого

порядка равны нулю и, следовательно, второй интеграл в (19) равен нулю. На верхнем основании имеем

На боковой поверхности конуса направляющие косинусы нормали удовлетворяют соотношению

Теперь равенство (19) можно переписать в виде

На боковой поверхности следовательно, первый интеграл неотрицателен, а потому

Отсюда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вершиной частные производные первого порядка функции и равны нулю и, следовательно, сама функция На нижнем основании конуса она равна нулю в силу (18), а следовательно, в точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление