Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Колебания в линии, свободной от искажения

Это название было дано Хевисайдом таким линиям, у которых постоянные связаны соотношением

Для подобного рода линий телеграфное уравнение

принимает форму волнового уравнения

так как в этом случае

Вспоминая общее решение уравнения (30), найдем, на основании соотношения

что величина напряжения в рассматриваемой линии определяется формулой

где — произвольные функции.

Для нахождения силы тока возьмем уравнение

и внесем в его правую часть выражения для взятые из формулы (31); тогда получим

Интегрируя это выражение по х, найдем, что

где произвольная функция. Подставив теперь (31) и (32) в уравнение

найдем, что

откуда

Постоянную не нарушая общности, можно считать равной нулю. В самом деле, допустим, что тогда, заменив в формулах (31) и (32) функции функциями к к убедимся, что постоянной К в этих формулах уже не будет. Итак,

Формулы (31) и (33) показывают, что процесс распространения электрических возмущений в линии без искажения имеет волновой характер. Скорость распространения этих волн определяется

Множитель стоящий в правых частях формул (31) и (33), показывает, что колебательный процесс, возникающий в проводе при прохождении по нему электрического тока, с течением времени затухает.

Что касается функций от которых зависит форма волн, то они определяются из начальных условий

где и заданные функции.

Действительно, полагая в формулах (31) и найдем, на основании условий (35), что

откуда

Если провод настолько длинен, что его можно считать простирающимся в обе стороны до бесконечности, то функции должны быть известны на всем интервале Тогда по формулам (31), (33) и (36) можно определить силу тока и напряжение во всякой точке цепи в любой момент времени.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление