Главная > Физика > Уравнения в частных производных математической физики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Горизонтальный излучатель над средой с конечной электропроводностью

Под горизонтальным излучателем будем понимать ограниченную в пространстве систему токов, параллельных некоторому направлению на плоскости раздела двух сред. Направив по нему ось в соответствии с замечаниями в конце предыдущего параграфа положим компоненту векторного потенциала равной нулю (ось , как и выше, предполагается перпендикулярной поверхности раздела сред). Тогда для определения поля горизонтального излучателя получим два уравнения:

решения которых, в силу соотношений (58), должны быть найдены при следующих граничных условиях на поверхности раздела:

Кроме того, на бесконечности должно удовлетворяться условие излучения. Как и в § 5, предполагаем, что магнитная проницаемость обеих сред равна единице.

Двукратное применение преобразования Фурье по переменным согласно изложенному в § 5, приведет нас к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида (59):

и системе граничных условий, которым должны удовлетворять их решения, вида (63)-(65):

Кроме того, решения системы (74) -(75) должны стремиться к нулю при по условию излучения.

Найдем сначала решение уравнения (74) при граничных условиях (77). Общий интеграл уравнения (74)

где произвольные постоянные, тот корень из вещественная часть которого положительна. Величины, относящиеся к верхней и нижней средам, будем в дальнейшем, как и ранее, отмечать индексами ей По условиям на бесконечности

Для определения постоянных имеем два уравнения:

откуда

Введем обозначения:

При этих обозначениях найдем, что

причем, конечно, предполагается, что в нижней среде сторонние токи отсутствуют. В частности, при

Перейдем к уравнению (75). Его общий интеграл

где и -произвольные постоянные. По условиям на бесконечности для верхней и нижней сред

Первое из условий (78) даст

в силу чего

Для определения С воспользуемся вторым из условий (78), которое с учетом соотношения (84) даст

Отсюда, приняв во внимание, что в силу формулы (76)

получим

Теперь компоненты векторного потенциала могут быть представлены в форме интегралов

и, тем самым, задача определения поля горизонтального излучателя решена полностью.

Рассмотрим наиболее интересные частные случаи линейной антенны и горизонтально ориентированного диполя.

Линейную антенну будем рассматривать как предельный случай излучателя квадратного сечения с равномерно распределенным по сечению током плотностью когда сторона квадрата, длину которой обозначим через стремится к нулю. Ось излучателя будем считать расположенной на расстоянии от поверхности раздела со средней точкой на оси Длину излучателя обозначим через 21.

Осуществляя преобразование Фурье, найдем, что

откуда

Устремим теперь а к нулю, одновременно увеличивая плотность тока так, чтобы произведение равное полному току через сечение излучателя, сохраняло прежнее значение. В результате получим:

Аналогично найдем, что

Пользуясь этими выражениями, в силу формул (79)-(81) и (86), получим:

откуда, в силу формул (82), (83) и (85), для линейной антенны:

Чтобы перейти от случая линейной антенну к случаю горизонтально ориентированного диполя, устремим к нулю, но так,

чтобы произведение оставалось неизменным. Это даст:

Из полученных соотношений легко получить формулы Гершельмана и Зоммерфельда, данные ими для диполя, расположенного на поверхности раздела сред. Положив в вышенаписанных соотношениях и применив обратное преобразование Фурье, получим:

Введем цилиндрические координаты направив ось по оси и отсчитывая угол так, чтобы было

а также положим

откуда, в частности, будет следовать, что

При этом первый из написанных выше интегралов может быть преобразован к виду:

Согласно известной формуле теории бесселевых функций

имеем

в силу чего окончательно получим

где

Аналогичным путем также найдем, что

где

Это и есть упомянутые выше формулы Гершельмана и Зомфельда.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление